Номер 177, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 177, страница 30.

Условие.

177. Двое рабочих, работая вместе, выполнили производственное задание за 12 ч. За сколько часов может выполнить это задание каждый рабочий самостоятельно, если один из них может это сделать на 7 ч быстрее другого?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи обозначим за $x$ время в часах, за которое один из рабочих может выполнить задание самостоятельно. Поскольку в условии сказано, что один из них может сделать это на 7 часов быстрее другого, то время другого рабочего можно выразить как $(x+7)$ часов. При этом рабочий, выполняющий задание за $x$ часов, является более быстрым.

Производительность труда каждого рабочего — это часть работы, выполняемая за один час. Примем всю работу за 1. Тогда производительность первого (быстрого) рабочего составляет $1/x$, а производительность второго (медленного) рабочего — $1/(x+7)$.

Когда рабочие трудятся вместе, их производительности складываются. Общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:

$P_{общ} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+7}$

По условию, работая вместе, они выполняют все задание за 12 часов. Это значит, что их общая производительность составляет $1/12$ часть работы в час.

Приравняем два выражения для общей производительности и получим уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+7} = \frac{1}{12}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+7)$:

$\frac{(x+7) + x}{x(x+7)} = \frac{1}{12}$

$\frac{2x+7}{x^2+7x} = \frac{1}{12}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$12(2x+7) = 1(x^2+7x)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$24x + 84 = x^2 + 7x$

$x^2 + 7x - 24x - 84 = 0$

$x^2 - 17x - 84 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$a=1, b=-17, c=-84$

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84) = 289 + 336 = 625$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$

$x_1 = \frac{17 + 25}{2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{17 - 25}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как $x$ обозначает время, эта величина не может быть отрицательной. Следовательно, корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию задачи.

Единственным подходящим решением является $x = 21$. Это время, за которое выполнит работу более быстрый рабочий.

Время второго рабочего будет на 7 часов больше:

$x + 7 = 21 + 7 = 28$ часов.

Ответ: Один рабочий может выполнить задание за 21 час, а другой — за 28 часов.