Номер 174, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

174. Теплоход прошёл 30 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на путь по течению на 30 мин меньше, чем на путь против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Пусть собственная скорость теплохода равна $x$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению реки составляет $(x + 1)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 1)$ км/ч. Поскольку теплоход движется против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 1$.

Время, которое теплоход затратил на путь против течения, равно $t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{30}{x-1}$ часов.

Время, которое теплоход затратил на путь по течению, равно $t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{16}{x+1}$ часов.

По условию задачи, путь по течению занял на 30 минут (то есть на $0.5$ часа) меньше, чем путь против течения. Это можно записать в виде уравнения:

$t_{против} - t_{по} = 0.5$

$\frac{30}{x-1} - \frac{16}{x+1} = 0.5$

Для решения этого рационального уравнения умножим обе его части на общий знаменатель $2(x-1)(x+1)$, учитывая, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

$2(x+1) \cdot 30 - 2(x-1) \cdot 16 = (x-1)(x+1) \cdot 1$

$60(x+1) - 32(x-1) = x^2 - 1$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$60x + 60 - 32x + 32 = x^2 - 1$

$28x + 92 = x^2 - 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 28x - 92 - 1 = 0$

$x^2 - 28x - 93 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-93) = 784 + 372 = 1156$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

$x_1 = \frac{28 + 34}{2} = \frac{62}{2} = 31$

$x_2 = \frac{28 - 34}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Корень $x_2 = -3$ не является решением задачи, так как скорость не может быть отрицательной величиной.

Корень $x_1 = 31$ удовлетворяет условию $x > 1$, следовательно, собственная скорость теплохода равна 31 км/ч.

Проверим найденное решение:

Время движения против течения: $\frac{30}{31-1} = \frac{30}{30} = 1$ час.

Время движения по течению: $\frac{16}{31+1} = \frac{16}{32} = 0.5$ часа.

Разница во времени: $1 - 0.5 = 0.5$ часа, что соответствует 30 минутам. Решение верное.

Ответ: 31 км/ч.