Номер 167, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 167, страница 28.

Условие.

167. Решите уравнение методом замены переменной:

1) $ \frac{x^2}{(2x + 3)^2} - \frac{3x}{2x + 3} + 2 = 0; $

2) $ \frac{x - 3}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 3} = 4\frac{1}{4}; $

3) $ \frac{x - 1}{x} - \frac{3x}{2(x - 1)} = -\frac{5}{2}; $

4) $ \frac{3x + 4}{x - 2} - \frac{6(x - 2)}{3x + 4} = 1; $

5) $ \frac{x^2 + x - 3}{2} - \frac{3}{2x^2 + 2x - 6} = 1; $

6) $ \frac{x^2 - x - 1}{x} - \frac{6x}{x^2 - x - 1} = 5; $

7) $ \frac{1}{x^2 - 3x + 3} + \frac{2}{x^2 - 3x + 4} = \frac{6}{x^2 - 3x + 5}; $

8) $ \frac{8}{x^2 - 6x + 12} - x^2 + 6x = 10. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное уравнение: $\frac{x^2}{(2x + 3)^2} - \frac{3x}{2x + 3} + 2 = 0$.
Данное уравнение можно переписать в виде: $(\frac{x}{2x + 3})^2 - 3(\frac{x}{2x + 3}) + 2 = 0$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $2x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -\frac{3}{2}$.
Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x}{2x + 3}$. Тогда уравнение примет вид:
$t^2 - 3t + 2 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, его корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = 1$:
$\frac{x}{2x + 3} = 1$
$x = 2x + 3$
$-x = 3$
$x = -3$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
2. При $t = 2$:
$\frac{x}{2x + 3} = 2$
$x = 2(2x + 3)$
$x = 4x + 6$
$-3x = 6$
$x = -2$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -3; -2.

2) Исходное уравнение: $\frac{x - 3}{x + 2} + \frac{x + 2}{x - 3} = 4\frac{1}{4}$.
ОДЗ: $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$ и $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$.
Введем замену. Пусть $t = \frac{x - 3}{x + 2}$. Тогда $\frac{x + 2}{x - 3} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид:
$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$.
Умножим обе части на $4t$ (т.к. $t \neq 0$):
$4t^2 + 4 = 17t$
$4t^2 - 17t + 4 = 0$.
Решим квадратное уравнение:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
$t_{1,2} = \frac{17 \pm 15}{8}$.
$t_1 = \frac{17+15}{8} = \frac{32}{8} = 4$.
$t_2 = \frac{17-15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = 4$:
$\frac{x - 3}{x + 2} = 4$
$x - 3 = 4(x + 2)$
$x - 3 = 4x + 8$
$-3x = 11 \Rightarrow x = -\frac{11}{3}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
2. При $t = \frac{1}{4}$:
$\frac{x - 3}{x + 2} = \frac{1}{4}$
$4(x - 3) = x + 2$
$4x - 12 = x + 2$
$3x = 14 \Rightarrow x = \frac{14}{3}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-\frac{11}{3}$; $\frac{14}{3}$.

3) Исходное уравнение: $\frac{x - 1}{x} - \frac{3x}{2(x - 1)} = -\frac{5}{2}$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
Введем замену. Пусть $t = \frac{x - 1}{x}$. Тогда $\frac{x}{x - 1} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид:
$t - \frac{3}{2t} = -\frac{5}{2}$.
Умножим обе части на $2t$ (т.к. $t \neq 0$):
$2t^2 - 3 = -5t$
$2t^2 + 5t - 3 = 0$.
Решим квадратное уравнение:
$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$t_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{4}$.
$t_1 = \frac{-5+7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-5-7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = \frac{1}{2}$:
$\frac{x - 1}{x} = \frac{1}{2}$
$2(x - 1) = x$
$2x - 2 = x \Rightarrow x = 2$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
2. При $t = -3$:
$\frac{x - 1}{x} = -3$
$x - 1 = -3x$
$4x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{4}$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{4}$; 2.

4) Исходное уравнение: $\frac{3x + 4}{x - 2} - \frac{6(x - 2)}{3x + 4} = 1$.
ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ и $3x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{4}{3}$.
Введем замену. Пусть $t = \frac{3x + 4}{x - 2}$. Тогда $\frac{x-2}{3x+4} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид:
$t - \frac{6}{t} = 1$.
Умножим обе части на $t$ (т.к. $t \neq 0$):
$t^2 - 6 = t$
$t^2 - t - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = 3$:
$\frac{3x + 4}{x - 2} = 3$
$3x + 4 = 3(x - 2)$
$3x + 4 = 3x - 6 \Rightarrow 4 = -6$. Решений нет.
2. При $t = -2$:
$\frac{3x + 4}{x - 2} = -2$
$3x + 4 = -2(x - 2)$
$3x + 4 = -2x + 4$
$5x = 0 \Rightarrow x = 0$. Корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 0.

5) Исходное уравнение: $\frac{x^2 + x - 3}{2} - \frac{3}{2x^2 + 2x - 6} = 1$.
Заметим, что $2x^2 + 2x - 6 = 2(x^2 + x - 3)$. Перепишем уравнение:
$\frac{x^2 + x - 3}{2} - \frac{3}{2(x^2 + x - 3)} = 1$.
ОДЗ: $2x^2 + 2x - 6 \neq 0 \Rightarrow x^2 + x - 3 \neq 0$.
Введем замену. Пусть $t = x^2 + x - 3$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{t}{2} - \frac{3}{2t} = 1$.
Умножим обе части на $2t$ (т.к. $t \neq 0$ по ОДЗ):
$t^2 - 3 = 2t$
$t^2 - 2t - 3 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$. Оба значения $t$ удовлетворяют условию $t \neq 0$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = 3$:
$x^2 + x - 3 = 3$
$x^2 + x - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = -3$.
2. При $t = -1$:
$x^2 + x - 3 = -1$
$x^2 + x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_3 = 1$, $x_4 = -2$.
Ответ: -3; -2; 1; 2.

6) Исходное уравнение: $\frac{x^2 - x - 1}{x} - \frac{6x}{x^2 - x - 1} = 5$.
ОДЗ: $x \neq 0$ и $x^2 - x - 1 \neq 0$.
Введем замену. Пусть $t = \frac{x^2 - x - 1}{x}$. Тогда $\frac{x}{x^2 - x - 1} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид:
$t - \frac{6}{t} = 5$.
Умножим обе части на $t$ (т.к. $t \neq 0$ по ОДЗ):
$t^2 - 6 = 5t$
$t^2 - 5t - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни $t_1 = 6$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = 6$:
$\frac{x^2 - x - 1}{x} = 6$
$x^2 - x - 1 = 6x$
$x^2 - 7x - 1 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 49 + 4 = 53$.
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{53}}{2}$.
2. При $t = -1$:
$\frac{x^2 - x - 1}{x} = -1$
$x^2 - x - 1 = -x$
$x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_{3,4} = \pm 1$.
Все четыре корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -1; 1; $\frac{7 - \sqrt{53}}{2}$; $\frac{7 + \sqrt{53}}{2}$.

7) Исходное уравнение: $\frac{1}{x^2 - 3x + 3} + \frac{2}{x^2 - 3x + 4} = \frac{6}{x^2 - 3x + 5}$.
Проверим знаменатели на равенство нулю. Для $x^2 - 3x + c$, дискриминант $D = 9 - 4c$.
Для $x^2 - 3x + 3$: $D = 9 - 12 = -3 < 0$. Знаменатель всегда положителен.
Для $x^2 - 3x + 4$: $D = 9 - 16 = -7 < 0$. Знаменатель всегда положителен.
Для $x^2 - 3x + 5$: $D = 9 - 20 = -11 < 0$. Знаменатель всегда положителен.
ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Введем замену. Пусть $t = x^2 - 3x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{t + 3} + \frac{2}{t + 4} = \frac{6}{t + 5}$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{(t + 4) + 2(t + 3)}{(t + 3)(t + 4)} = \frac{6}{t + 5}$
$\frac{3t + 10}{t^2 + 7t + 12} = \frac{6}{t + 5}$.
$(3t + 10)(t + 5) = 6(t^2 + 7t + 12)$
$3t^2 + 15t + 10t + 50 = 6t^2 + 42t + 72$
$3t^2 + 25t + 50 = 6t^2 + 42t + 72$
$3t^2 + 17t + 22 = 0$.
$D = 17^2 - 4 \cdot 3 \cdot 22 = 289 - 264 = 25 = 5^2$.
$t_{1,2} = \frac{-17 \pm 5}{6}$.
$t_1 = \frac{-17-5}{6} = \frac{-22}{6} = -\frac{11}{3}$.
$t_2 = \frac{-17+5}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = -\frac{11}{3}$:
$x^2 - 3x = -\frac{11}{3}$
$3x^2 - 9x + 11 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 81 - 132 = -51 < 0$. Действительных корней нет.
2. При $t = -2$:
$x^2 - 3x = -2$
$x^2 - 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.
Ответ: 1; 2.

8) Исходное уравнение: $\frac{8}{x^2 - 6x + 12} - x^2 + 6x = 10$.
Перепишем уравнение: $\frac{8}{x^2 - 6x + 12} - (x^2 - 6x) = 10$.
Проверим знаменатель $x^2 - 6x + 12$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 36 - 48 = -12 < 0$. Знаменатель всегда положителен, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.
Введем замену. Пусть $t = x^2 - 6x$. Тогда $x^2 - 6x + 12 = t + 12$. Уравнение примет вид:
$\frac{8}{t + 12} - t = 10$.
Умножим обе части на $(t + 12)$:
$8 - t(t + 12) = 10(t + 12)$
$8 - t^2 - 12t = 10t + 120$
$t^2 + 22t + 112 = 0$.
Решим квадратное уравнение. $D/4 = (22/2)^2 - 112 = 11^2 - 112 = 121 - 112 = 9 = 3^2$.
$t_{1,2} = -11 \pm 3$.
$t_1 = -11 - 3 = -14$.
$t_2 = -11 + 3 = -8$.
Выполним обратную замену:
1. При $t = -14$:
$x^2 - 6x = -14$
$x^2 - 6x + 14 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 36 - 56 = -20 < 0$. Действительных корней нет.
2. При $t = -8$:
$x^2 - 6x = -8$
$x^2 - 6x + 8 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Ответ: 2; 4.