Номер 163, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 163, страница 27.

Условие.

163. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $(a^2 - a - 56)x = a^2 - 64;$

2) $(a^2 + 5a - 24)x = 2a^2 - 5a - 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано линейное уравнение относительно $x$: $(a^2 - a - 56)x = a^2 - 64$.

Решение уравнения зависит от коэффициента при $x$. Найдем значения параметра $a$, при которых этот коэффициент обращается в ноль.

$a^2 - a - 56 = 0$

Используя теорему Виета, находим корни этого квадратного уравнения: $a_1 = 8$ и $a_2 = -7$.

Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: $a = 8$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$(8^2 - 8 - 56)x = 8^2 - 64$

$(64 - 8 - 56)x = 64 - 64$

$0 \cdot x = 0$

Данное равенство верно при любом значении $x$. Таким образом, при $a=8$ решением уравнения является любое действительное число.

Случай 2: $a = -7$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$((-7)^2 - (-7) - 56)x = (-7)^2 - 64$

$(49 + 7 - 56)x = 49 - 64$

$0 \cdot x = -15$

Данное равенство не выполняется ни при каком значении $x$. Следовательно, при $a=-7$ уравнение не имеет решений.

Случай 3: $a \neq 8$ и $a \neq -7$.

При этих значениях $a$ коэффициент при $x$ не равен нулю, поэтому можно разделить обе части уравнения на $(a^2 - a - 56)$:

$x = \frac{a^2 - 64}{a^2 - a - 56}$

Для упрощения дроби разложим числитель и знаменатель на множители:

$a^2 - 64 = (a-8)(a+8)$

$a^2 - a - 56 = (a-8)(a+7)$

Подставим разложения в выражение для $x$:

$x = \frac{(a-8)(a+8)}{(a-8)(a+7)}$

Так как $a \neq 8$, то множитель $(a-8)$ не равен нулю, и на него можно сократить:

$x = \frac{a+8}{a+7}$

Ответ: если $a = 8$, то $x$ - любое число; если $a = -7$, то решений нет; если $a \neq 8$ и $a \neq -7$, то $x = \frac{a+8}{a+7}$.

2)

Дано линейное уравнение относительно $x$: $(a^2 + 5a - 24)x = 2a^2 - 5a - 3$.

Найдем значения параметра $a$, при которых коэффициент при $x$ равен нулю.

$a^2 + 5a - 24 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $a_1 = 3$ и $a_2 = -8$.

Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: $a = 3$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$(3^2 + 5 \cdot 3 - 24)x = 2 \cdot 3^2 - 5 \cdot 3 - 3$

$(9 + 15 - 24)x = 18 - 15 - 3$

$0 \cdot x = 0$

Равенство верно при любом значении $x$. Таким образом, при $a=3$ решением является любое действительное число.

Случай 2: $a = -8$.

Подставим это значение в исходное уравнение:

$((-8)^2 + 5(-8) - 24)x = 2(-8)^2 - 5(-8) - 3$

$(64 - 40 - 24)x = 2(64) + 40 - 3$

$0 \cdot x = 128 + 40 - 3$

$0 \cdot x = 165$

Равенство не выполняется ни при каком значении $x$. Следовательно, при $a=-8$ уравнение не имеет решений.

Случай 3: $a \neq 3$ и $a \neq -8$.

При этих значениях $a$ коэффициент при $x$ отличен от нуля. Выразим $x$:

$x = \frac{2a^2 - 5a - 3}{a^2 + 5a - 24}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Знаменатель: $a^2 + 5a - 24 = (a-3)(a+8)$.

Для разложения числителя $2a^2 - 5a - 3$ найдем корни уравнения $2a^2 - 5a - 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$.

Корни: $a_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5-7}{4} = -\frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5+7}{4} = 3$.

Следовательно, $2a^2 - 5a - 3 = 2(a - 3)(a + \frac{1}{2}) = (a-3)(2a+1)$.

Подставим разложения в выражение для $x$:

$x = \frac{(a-3)(2a+1)}{(a-3)(a+8)}$

Так как $a \neq 3$, то множитель $(a-3)$ не равен нулю, и на него можно сократить:

$x = \frac{2a+1}{a+8}$

Ответ: если $a = 3$, то $x$ - любое число; если $a = -8$, то решений нет; если $a \neq 3$ и $a \neq -8$, то $x = \frac{2a+1}{a+8}$.