Номер 157, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 157, страница 26.

Условие.

157. Найдите корни квадратного трёхчлена:

1) $x^2 - 2x - 35;$

2) $3x^2 + 16x + 5;$

3) $x^2 - 10x + 18.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена вида $ax^2+bx+c$, нужно приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$. Корни уравнения находятся по формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$ — дискриминант.

1) $x^2-2x-35$

Приравниваем трёхчлен к нулю: $x^2-2x-35=0$.
Это приведённое квадратное уравнение, где коэффициенты равны: $a=1$, $b=-2$, $c=-35$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Найдём корни по формуле:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Ответ: -5; 7.

2) $3x^2+16x+5$

Приравниваем трёхчлен к нулю: $3x^2+16x+5=0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=16$, $c=5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 - 60 = 196$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.
Найдём корни по формуле:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-30}{6} = -5$.
Ответ: -5; $-\frac{1}{3}$.

3) $x^2-10x+18$

Приравниваем трёхчлен к нулю: $x^2-10x+18=0$.
Коэффициенты: $a=1$, $b=-10$, $c=18$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 100 - 72 = 28$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$\sqrt{D} = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$.
Найдём корни по формуле:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) \pm 2\sqrt{7}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 5 \pm \sqrt{7}$.
Корни трёхчлена: $x_1 = 5 + \sqrt{7}$ и $x_2 = 5 - \sqrt{7}$.
Ответ: $5 - \sqrt{7}$; $5 + \sqrt{7}$.