Номер 161, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

161. Упростите выражение:

1) $\frac{3y^2 - 12}{2y^2 - 15y + 18} \cdot \frac{6 - y}{y + 2} + \frac{y}{3 - 2y}$;

2) $\frac{y + 20}{4y^3 - 16y} : \left( \frac{y - 2}{6y^2 + 11y - 2} - \frac{4}{4 - y^2} \right)$;

3) $\left( \frac{4a}{a^2 - 3a + 2} + \frac{2}{a^2 - 1} \right) : \frac{2a + 4}{a^2 - a - 2} - \frac{a}{a - 1}$.

1) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним умножение, а затем сложение.

Первое действие - умножение: $\frac{3y^2 - 12}{2y^2 - 15y + 18} \cdot \frac{6 - y}{y + 2}$.

Разложим на множители числители и знаменатели дробей:

$3y^2 - 12 = 3(y^2 - 4) = 3(y-2)(y+2)$

Для разложения $2y^2 - 15y + 18$ найдем корни квадратного уравнения $2y^2 - 15y + 18 = 0$.
Дискриминант $D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = 225 - 144 = 81 = 9^2$.
$y_1 = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$, $y_2 = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6$.
Тогда $2y^2 - 15y + 18 = 2(y - \frac{3}{2})(y-6) = (2y-3)(y-6)$.

$6 - y = -(y - 6)$

Подставим разложенные многочлены в выражение и сократим дробь:
$\frac{3(y-2)(y+2)}{(2y-3)(y-6)} \cdot \frac{-(y - 6)}{y + 2} = \frac{3(y-2)\sout{(y+2)}}{(2y-3)\sout{(y-6)}} \cdot \frac{-\sout{(y - 6)}}{\sout{y + 2}} = -\frac{3(y-2)}{2y-3} = \frac{3(2-y)}{2y-3}$.

Второе действие - сложение: $\frac{3(2-y)}{2y-3} + \frac{y}{3 - 2y}$.

Заметим, что $3 - 2y = -(2y - 3)$, поэтому вторую дробь можно записать так: $\frac{y}{-(2y-3)} = -\frac{y}{2y-3}$.

Получаем: $\frac{3(2-y)}{2y-3} - \frac{y}{2y-3} = \frac{6 - 3y - y}{2y-3} = \frac{6-4y}{2y-3}$.

Вынесем в числителе общий множитель 2: $\frac{2(3-2y)}{2y-3}$.

Снова используем то, что $3-2y = -(2y-3)$: $\frac{-2(2y-3)}{2y-3} = -2$.
Ответ: -2

2) Упростим выражение по действиям. Сначала выполним действия в скобках, а затем деление.

Действие в скобках: $\frac{y - 2}{6y^2 + 11y - 2} - \frac{4}{4 - y^2}$.

Разложим знаменатели на множители:

Для $6y^2 + 11y - 2 = 0$: $D = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
$y_1 = \frac{-11-13}{12} = -2$, $y_2 = \frac{-11+13}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
$6y^2 + 11y - 2 = 6(y+2)(y-\frac{1}{6}) = (y+2)(6y-1)$.

$4 - y^2 = (2-y)(2+y) = -(y-2)(y+2)$.

Подставим в выражение в скобках:
$\frac{y - 2}{(y+2)(6y-1)} - \frac{4}{-(y-2)(y+2)} = \frac{y - 2}{(y+2)(6y-1)} + \frac{4}{(y-2)(y+2)}$.

Приведем к общему знаменателю $(y+2)(6y-1)(y-2)$:
$\frac{(y-2)(y-2) + 4(6y-1)}{(y+2)(6y-1)(y-2)} = \frac{y^2-4y+4+24y-4}{(y+2)(6y-1)(y-2)} = \frac{y^2+20y}{(y+2)(y-2)(6y-1)} = \frac{y(y+20)}{(y^2-4)(6y-1)}$.

Теперь выполним деление: $\frac{y + 20}{4y^3 - 16y} : \frac{y(y+20)}{(y^2-4)(6y-1)}$.

Разложим на множители делимое: $\frac{y + 20}{4y(y^2 - 4)}$.

Деление заменяем на умножение на обратную дробь:
$\frac{y + 20}{4y(y^2 - 4)} \cdot \frac{(y^2-4)(6y-1)}{y(y+20)}$.

Сокращаем общие множители $(y+20)$ и $(y^2-4)$:
$\frac{\sout{y + 20}}{4y\sout{(y^2 - 4)}} \cdot \frac{\sout{(y^2-4)}(6y-1)}{y\sout{(y+20)}} = \frac{1}{4y} \cdot \frac{6y-1}{y} = \frac{6y-1}{4y^2}$.
Ответ: $\frac{6y-1}{4y^2}$

3) Упростим выражение по действиям, соблюдая порядок: действия в скобках, деление, вычитание.

Действие в скобках: $\frac{4a}{a^2 - 3a + 2} + \frac{2}{a^2 - 1}$.

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения и теорему Виета:
$a^2 - 3a + 2 = (a-1)(a-2)$
$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$

Подставляем: $\frac{4a}{(a-1)(a-2)} + \frac{2}{(a-1)(a+1)}$.

Приводим к общему знаменателю $(a-1)(a-2)(a+1)$:
$\frac{4a(a+1) + 2(a-2)}{(a-1)(a-2)(a+1)} = \frac{4a^2+4a+2a-4}{(a-1)(a-2)(a+1)} = \frac{4a^2+6a-4}{(a-1)(a-2)(a+1)}$.

Разложим числитель $4a^2+6a-4 = 2(2a^2+3a-2)$. Для $2a^2+3a-2=0$: $D = 9 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25=5^2$. Корни $a_1=\frac{-3-5}{4}=-2$ и $a_2=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}$.
$2(2a^2+3a-2) = 2 \cdot 2(a+2)(a-\frac{1}{2}) = 2(a+2)(2a-1)$.
Результат в скобках: $\frac{2(a+2)(2a-1)}{(a-1)(a-2)(a+1)}$.

Второе действие - деление. Разложим делитель: $\frac{2a + 4}{a^2 - a - 2} = \frac{2(a+2)}{(a-2)(a+1)}$.

Выполняем деление:
$\frac{2(a+2)(2a-1)}{(a-1)(a-2)(a+1)} : \frac{2(a+2)}{(a-2)(a+1)} = \frac{2(a+2)(2a-1)}{(a-1)(a-2)(a+1)} \cdot \frac{(a-2)(a+1)}{2(a+2)}$.

Сокращаем одинаковые множители:
$\frac{\sout{2}\sout{(a+2)}(2a-1)}{(a-1)\sout{(a-2)}\sout{(a+1)}} \cdot \frac{\sout{(a-2)}\sout{(a+1)}}{\sout{2}\sout{(a+2)}} = \frac{2a-1}{a-1}$.

Третье действие - вычитание:
$\frac{2a-1}{a-1} - \frac{a}{a-1} = \frac{2a-1-a}{a-1} = \frac{a-1}{a-1} = 1$.
Ответ: 1