Номер 168, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 168, страница 28.

Условие.

168. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $ \frac{x^2 - 5x + 6}{x - a} = 0; $

2) $ \frac{x - a}{x^2 - 5x + 6} = 0; $

3) $ \frac{x^2 - (a + 1)x + a}{x - 2} = 0; $

4) $ \frac{x^2 - (a + 3)x + 2a + 2}{x - 2} = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Решим уравнение $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - a} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - 5x + 6 = 0, \\ x - a \neq 0. \end{cases}$

Сначала решим уравнение числителя $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Теперь учтем условие $x - a \neq 0$, то есть $x \neq a$. Это означает, что найденные корни не должны быть равны $a$.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если $a = 2$, то корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \neq a$, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Корень $x_2 = 3$ удовлетворяет условию $3 \neq 2$. Таким образом, при $a=2$ уравнение имеет единственный корень $x=3$.

2. Если $a = 3$, то корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет условию $x \neq a$. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 \neq 3$. Таким образом, при $a=3$ уравнение имеет единственный корень $x=2$.

3. Если $a \neq 2$ и $a \neq 3$, то оба корня $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$ удовлетворяют условию $x \neq a$. В этом случае уравнение имеет два корня.

Ответ: если $a = 2$, то $x = 3$; если $a = 3$, то $x = 2$; если $a \neq 2$ и $a \neq 3$, то $x = 2$ и $x = 3$.

2) Решим уравнение $\frac{x - a}{x^2 - 5x + 6} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - a = 0, \\ x^2 - 5x + 6 \neq 0. \end{cases}$

Из уравнения числителя получаем $x = a$.

Условие на знаменатель $x^2 - 5x + 6 \neq 0$. Корнями уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ являются $x = 2$ и $x = 3$. Следовательно, $x \neq 2$ и $x \neq 3$.

Корень $x = a$ будет решением исходного уравнения, только если он не совпадает с запрещенными значениями. То есть, $a \neq 2$ и $a \neq 3$.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если $a = 2$ или $a = 3$, то корень $x = a$ обращает знаменатель в ноль, а значит, не является решением уравнения. В этих случаях у уравнения нет корней.

2. Если $a \neq 2$ и $a \neq 3$, то корень $x = a$ удовлетворяет условию $x^2 - 5x + 6 \neq 0$. В этом случае решение есть и оно единственное.

Ответ: если $a = 2$ или $a = 3$, то корней нет; если $a \neq 2$ и $a \neq 3$, то $x = a$.

3) Решим уравнение $\frac{x^2 - (a + 1)x + a}{x - 2} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (a + 1)x + a = 0, \\ x - 2 \neq 0. \end{cases}$

Сначала решим уравнение числителя $x^2 - (a + 1)x + a = 0$. Это квадратное уравнение относительно $x$. По теореме Виета, сумма корней равна $a+1$, а произведение равно $a$. Легко видеть, что корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = a$.

Теперь учтем условие $x \neq 2$.

Корень $x_1 = 1$ не равен 2, поэтому он всегда будет решением, если является корнем числителя. Корень $x_2 = a$ не должен быть равен 2. То есть, $a \neq 2$.

Проанализируем значения параметра $a$:

1. Если $a = 2$, то корень $x_2 = a$ совпадает с запрещенным значением $x=2$ и не является решением. Корень $x_1 = 1$ остается решением. Таким образом, при $a=2$ уравнение имеет единственный корень $x=1$.

2. Если $a \neq 2$, то оба потенциальных корня, $x=1$ и $x=a$, не равны 2. Если $a=1$, корни совпадают, и решением будет $x=1$. Если $a \neq 1$, то корни различны, и решениями будут $x=1$ и $x=a$.

Объединяя результаты, можно записать:

Ответ: если $a = 2$, то $x = 1$; если $a \neq 2$, то $x = 1$ и $x = a$.

4) Решим уравнение $\frac{x^2 - (a + 3)x + 2a + 2}{x - 2} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 - (a + 3)x + 2a + 2 = 0, \\ x - 2 \neq 0. \end{cases}$

Сначала решим уравнение числителя $x^2 - (a + 3)x + 2a + 2 = 0$. Найдем его дискриминант:

$D = (-(a+3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a+2) = a^2 + 6a + 9 - 8a - 8 = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{a+3 \pm \sqrt{(a-1)^2}}{2} = \frac{a+3 \pm (a-1)}{2}$.

$x_1 = \frac{a+3 + a - 1}{2} = \frac{2a+2}{2} = a+1$.

$x_2 = \frac{a+3 - (a - 1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Таким образом, корни числителя это $x=a+1$ и $x=2$.

Теперь учтем условие $x \neq 2$. Корень $x_2 = 2$ всегда обращает знаменатель в ноль, поэтому он не может быть решением исходного уравнения ни при каких значениях $a$.

Остается корень $x_1 = a+1$. Он будет решением, если не совпадает с запрещенным значением $x=2$.

Условие $a+1 = 2$ выполняется при $a=1$.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Если $a = 1$, то оба корня числителя совпадают и равны 2 ($x_1=a+1=2$, $x_2=2$). Это значение $x=2$ запрещено условием $x \neq 2$. Следовательно, при $a=1$ уравнение не имеет корней.

2. Если $a \neq 1$, то корень $x_1 = a+1$ не равен 2. Этот корень является решением уравнения. Корень $x_2=2$ по-прежнему не является решением. Таким образом, при $a \neq 1$ уравнение имеет единственный корень $x=a+1$.

Ответ: если $a = 1$, то корней нет; если $a \neq 1$, то $x = a+1$.