Номер 169, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 169, страница 29.

Условие.

169. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{x^2 - ax + 2}{x - 3} = 0$ имеет единственный корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Данное уравнение $\frac{x^2 - ax + 2}{x-3} = 0$ равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - ax + 2 = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases} $

Из второго условия системы следует, что $x \neq 3$. Исходное уравнение будет иметь единственный корень в двух случаях.

Случай 1. Квадратное уравнение $x^2 - ax + 2 = 0$ имеет единственный корень, и этот корень не равен 3.

Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = a^2 - 8$.

$a^2 - 8 = 0$

$a^2 = 8$

$a_1 = 2\sqrt{2}$, $a_2 = -2\sqrt{2}$.

При $D=0$ корень уравнения находится по формуле $x = \frac{-(-a)}{2 \cdot 1} = \frac{a}{2}$.

Проверим, выполняется ли условие $x \neq 3$ для найденных значений $a$.

Если $a = 2\sqrt{2}$, то корень $x = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \neq 3$, это значение $a$ подходит.

Если $a = -2\sqrt{2}$, то корень $x = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$. Так как $-\sqrt{2} \neq 3$, это значение $a$ тоже подходит.

Случай 2. Квадратное уравнение $x^2 - ax + 2 = 0$ имеет два различных корня, но один из них равен 3.

Это происходит, когда дискриминант $D > 0$, и один из корней уравнения $x^2 - ax + 2 = 0$ равен 3. Этот корень будет посторонним для исходного уравнения из-за условия $x \neq 3$, и тогда у исходного уравнения останется только один корень.

Подставим $x=3$ в квадратное уравнение, чтобы найти соответствующее значение $a$:

$3^2 - a \cdot 3 + 2 = 0$

$9 - 3a + 2 = 0$

$11 - 3a = 0$

$a = \frac{11}{3}$.

Теперь нужно проверить, что при этом значении $a$ дискриминант действительно больше нуля.

$D = a^2 - 8 = (\frac{11}{3})^2 - 8 = \frac{121}{9} - \frac{72}{9} = \frac{49}{9}$.

Так как $D = \frac{49}{9} > 0$, при $a = \frac{11}{3}$ уравнение $x^2 - \frac{11}{3}x + 2 = 0$ имеет два различных корня. Найдем их, чтобы убедиться, что один из них равен 3, а второй — нет.

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{\frac{11}{3} \pm \sqrt{\frac{49}{9}}}{2} = \frac{\frac{11}{3} \pm \frac{7}{3}}{2}$.

$x_1 = \frac{\frac{11}{3} + \frac{7}{3}}{2} = \frac{\frac{18}{3}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$x_2 = \frac{\frac{11}{3} - \frac{7}{3}}{2} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{2}{3}$.

Корень $x_1=3$ является посторонним для исходного уравнения. Корень $x_2 = \frac{2}{3}$ является единственным решением исходного уравнения. Значит, значение $a = \frac{11}{3}$ нам подходит.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем искомые значения $a$.

Ответ: $a \in \{-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}; \frac{11}{3}\}$.