Номер 172, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 172, страница 29.

Условие.

172. Поезд должен был проехать 360 км. Проехав $\frac{7}{12}$ этого расстояния, поезд увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите скорость поезда на каждом участке движения, если на весь путь было затрачено 5 ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $v$ км/ч — это первоначальная скорость поезда. После увеличения скорость поезда стала $(v + 5)$ км/ч.

Общий путь составляет 360 км. Поезд двигался в два этапа.

Первый этап — это $\frac{7}{12}$ всего расстояния. Найдем его длину:

$S_1 = 360 \cdot \frac{7}{12} = \frac{360}{12} \cdot 7 = 30 \cdot 7 = 210$ км.

Второй этап — это оставшаяся часть пути:

$S_2 = 360 - 210 = 150$ км.

Время, которое поезд затратил на первый участок, равно:

$t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{210}{v}$ ч.

Время, которое поезд затратил на второй участок, равно:

$t_2 = \frac{S_2}{v+5} = \frac{150}{v+5}$ ч.

По условию, общее время в пути составляет 5 часов, значит, $t_1 + t_2 = 5$. Составим уравнение:

$\frac{210}{v} + \frac{150}{v+5} = 5$

Решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $v(v+5)$ (учитывая, что $v > 0$):

$\frac{210(v+5) + 150v}{v(v+5)} = 5$

$210(v+5) + 150v = 5v(v+5)$

Раскроем скобки:

$210v + 1050 + 150v = 5v^2 + 25v$

Приведем подобные члены и получим квадратное уравнение:

$5v^2 + 25v - 360v - 1050 = 0$

$5v^2 - 335v - 1050 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 5:

$v^2 - 67v - 210 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-67)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-210) = 4489 + 840 = 5329$

$\sqrt{D} = \sqrt{5329} = 73$

Теперь найдем значения $v$:

$v_1 = \frac{-(-67) + 73}{2 \cdot 1} = \frac{67 + 73}{2} = \frac{140}{2} = 70$

$v_2 = \frac{-(-67) - 73}{2 \cdot 1} = \frac{67 - 73}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Корень $v_2 = -3$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, первоначальная скорость поезда равна 70 км/ч.

Скорость поезда на втором участке была на 5 км/ч больше:

$70 + 5 = 75$ км/ч.

Ответ: скорость поезда на первом участке движения была 70 км/ч, а на втором — 75 км/ч.