Номер 179, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

179. Слиток золота с серебром, содержавший 60 г золота, сплавили с 60 г золота. Процентное содержание золота в новом слитке на $15 \%$ больше, чем в исходном. Сколько граммов серебра содержится в слитке?

Пусть масса серебра в исходном слитке составляет $x$ граммов. Тогда общая масса исходного слитка равна $60 + x$ граммов, так как он содержит 60 г золота.

Процентное содержание золота в исходном слитке ($P_1$) вычисляется как отношение массы золота к общей массе слитка, умноженное на 100%:

$P_1 = \frac{60}{60 + x} \times 100\%$

После того как к слитку добавили еще 60 г золота, масса золота в новом слитке стала $60 + 60 = 120$ г, а общая масса нового слитка стала $60 + x + 60 = 120 + x$ граммов. Масса серебра при этом не изменилась.

Процентное содержание золота в новом слитке ($P_2$) составляет:

$P_2 = \frac{120}{120 + x} \times 100\%$

По условию задачи, процентное содержание золота в новом слитке на 15% больше, чем в исходном. Это означает, что разница между $P_2$ и $P_1$ составляет 15 процентных пунктов:

$P_2 - P_1 = 15$

Подставим выражения для $P_1$ и $P_2$ в это уравнение:

$\frac{120}{120 + x} \times 100 - \frac{60}{60 + x} \times 100 = 15$

Разделим обе части уравнения на 100, чтобы упростить его:

$\frac{120}{120 + x} - \frac{60}{60 + x} = 0.15$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(120 + x)(60 + x)$:

$\frac{120(60 + x) - 60(120 + x)}{(120 + x)(60 + x)} = 0.15$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{7200 + 120x - 7200 - 60x}{(120 + x)(60 + x)} = 0.15$

$\frac{60x}{(120 + x)(60 + x)} = 0.15$

Представим 0.15 как дробь $\frac{15}{100} = \frac{3}{20}$:

$\frac{60x}{(120 + x)(60 + x)} = \frac{3}{20}$

Разделим обе части на 3:

$\frac{20x}{(120 + x)(60 + x)} = \frac{1}{20}$

Используем перекрестное умножение:

$20 \times 20x = 1 \times (120 + x)(60 + x)$

$400x = 7200 + 120x + 60x + x^2$

$400x = x^2 + 180x + 7200$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 180x - 400x + 7200 = 0$

$x^2 - 220x + 7200 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-220)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7200 = 48400 - 28800 = 19600$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{19600} = 140$

$x_1 = \frac{-(-220) + 140}{2 \cdot 1} = \frac{220 + 140}{2} = \frac{360}{2} = 180$

$x_2 = \frac{-(-220) - 140}{2 \cdot 1} = \frac{220 - 140}{2} = \frac{80}{2} = 40$

Оба корня положительные, поэтому оба являются возможными решениями. Проверим каждое из них.

Случай 1: $x = 40$ г.

Исходный процент золота: $P_1 = \frac{60}{60+40} \times 100\% = \frac{60}{100} \times 100\% = 60\%$.

Новый процент золота: $P_2 = \frac{120}{120+40} \times 100\% = \frac{120}{160} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$.

Разница: $P_2 - P_1 = 75\% - 60\% = 15\%$. Это соответствует условию задачи.

Случай 2: $x = 180$ г.

Исходный процент золота: $P_1 = \frac{60}{60+180} \times 100\% = \frac{60}{240} \times 100\% = 0.25 \times 100\% = 25\%$.

Новый процент золота: $P_2 = \frac{120}{120+180} \times 100\% = \frac{120}{300} \times 100\% = 0.4 \times 100\% = 40\%$.

Разница: $P_2 - P_1 = 40\% - 25\% = 15\%$. Это также соответствует условию задачи.

Таким образом, задача имеет два правильных решения.

Ответ: в слитке содержится 40 граммов или 180 граммов серебра.