Номер 1, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 1, страница 31.

Условие.

1. Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение:

1) $(a^4)^3;$

2) $(-a^6)^2;$

3) $a^5 a^4;$

4) $((a^7)^3)^2;$

5) $(a^6)^3 \cdot (a^2)^4;$

6) $(-a^5)^3 \cdot (-a^4)^7 : a^{12}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $(a^4)^3$
Чтобы представить это выражение в виде степени с основанием $a$, мы используем правило возведения степени в степень, которое гласит: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. В данном случае показатели степеней $4$ и $3$ перемножаются.
$(a^4)^3 = a^{4 \cdot 3} = a^{12}$.
Ответ: $a^{12}$

2) $(-a^6)^2$
Выражение в скобках возводится в четную степень ($2$). Любое число (кроме нуля), возведенное в четную степень, является положительным. Поэтому знак минус исчезает: $(-x)^n = x^n$ для четного $n$. Далее применяем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
$(-a^6)^2 = (a^6)^2 = a^{6 \cdot 2} = a^{12}$.
Ответ: $a^{12}$

3) $a^5 a^4$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Это соответствует свойству: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
$a^5 a^4 = a^{5+4} = a^9$.
Ответ: $a^9$

4) $((a^7)^3)^2$
Здесь мы последовательно применяем правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Сначала для внутреннего выражения, а затем для внешнего. Показатели $7, 3$ и $2$ перемножаются.
$((a^7)^3)^2 = (a^{7 \cdot 3})^2 = (a^{21})^2 = a^{21 \cdot 2} = a^{42}$.
Ответ: $a^{42}$

5) $(a^6)^3 \cdot (a^2)^4$
Сначала упростим каждый множитель, используя правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Затем перемножим результаты, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Первый множитель: $(a^6)^3 = a^{6 \cdot 3} = a^{18}$.
Второй множитель: $(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.
Произведение: $a^{18} \cdot a^8 = a^{18+8} = a^{26}$.
Ответ: $a^{26}$

6) $(-a^5)^3 \cdot (-a^4)^7 : a^{12}$
Рассмотрим выражение по частям. При возведении отрицательного основания в нечетную степень ($3$ и $7$ - нечетные числа) знак минус сохраняется: $(-x)^n = -x^n$ для нечетного $n$.
$(-a^5)^3 = -(a^5)^3 = -a^{5 \cdot 3} = -a^{15}$.
$(-a^4)^7 = -(a^4)^7 = -a^{4 \cdot 7} = -a^{28}$.
Теперь перемножим полученные выражения. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число: $(-x) \cdot (-y) = xy$.
$(-a^{15}) \cdot (-a^{28}) = a^{15} \cdot a^{28} = a^{15+28} = a^{43}$.
Наконец, выполним деление, используя правило деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$.
$a^{43} : a^{12} = a^{43-12} = a^{31}$.
Ответ: $a^{31}$