Номер 6, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 6, страница 31.

Условие.

6. Разложите на множители:

1) $x^2 - 25$;

2) $36 - 16y^2$;

3) $4x^2 - 81y^2$;

4) $0,09y^2 - 1,21p^2$;

5) $a^2b^2 - \frac{16}{9}$;

6) $a^8 - x^4$;

7) $0,04b^4 - a^{12}$;

8) $-1 + a^6b^4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения всех заданий используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) $x^2 - 25$

Представим выражение в виде разности квадратов. Число 25 является квадратом числа 5, то есть $25 = 5^2$.

$x^2 - 25 = x^2 - 5^2$

Применяя формулу разности квадратов, где $a = x$ и $b = 5$, получаем:

$(x - 5)(x + 5)$

Ответ: $(x - 5)(x + 5)$.

2) $36 - 16y^2$

Сначала вынесем за скобки общий множитель 4.

$36 - 16y^2 = 4(9 - 4y^2)$

Теперь выражение в скобках $9 - 4y^2$ можно разложить как разность квадратов, так как $9 = 3^2$ и $4y^2 = (2y)^2$.

$9 - 4y^2 = 3^2 - (2y)^2 = (3 - 2y)(3 + 2y)$

Объединяем все множители:

$4(3 - 2y)(3 + 2y)$

Ответ: $4(3 - 2y)(3 + 2y)$.

3) $4x^2 - 81y^2$

Представим каждый член выражения в виде квадрата.

$4x^2 = (2x)^2$

$81y^2 = (9y)^2$

Получаем разность квадратов: $(2x)^2 - (9y)^2$.

Применяем формулу, где $a = 2x$ и $b = 9y$:

$(2x - 9y)(2x + 9y)$

Ответ: $(2x - 9y)(2x + 9y)$.

4) $0,09y^2 - 1,21p^2$

Представим каждый член выражения в виде квадрата.

$0,09y^2 = (0,3y)^2$

$1,21p^2 = (1,1p)^2$

Получаем разность квадратов: $(0,3y)^2 - (1,1p)^2$.

Применяем формулу, где $a = 0,3y$ и $b = 1,1p$:

$(0,3y - 1,1p)(0,3y + 1,1p)$

Ответ: $(0,3y - 1,1p)(0,3y + 1,1p)$.

5) $a^2b^2 - \frac{16}{9}$

Представим каждый член выражения в виде квадрата.

$a^2b^2 = (ab)^2$

$\frac{16}{9} = (\frac{4}{3})^2$

Получаем разность квадратов: $(ab)^2 - (\frac{4}{3})^2$.

Применяем формулу, где $a = ab$ и $b = \frac{4}{3}$:

$(ab - \frac{4}{3})(ab + \frac{4}{3})$

Ответ: $(ab - \frac{4}{3})(ab + \frac{4}{3})$.

6) $a^8 - x^4$

Представим выражение как разность квадратов, учитывая, что $a^8 = (a^4)^2$ и $x^4 = (x^2)^2$.

$a^8 - x^4 = (a^4)^2 - (x^2)^2 = (a^4 - x^2)(a^4 + x^2)$

Первый множитель, $a^4 - x^2$, также является разностью квадратов, так как $a^4 = (a^2)^2$.

$a^4 - x^2 = (a^2)^2 - x^2 = (a^2 - x)(a^2 + x)$

Второй множитель, $a^4 + x^2$, является суммой квадратов и не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Собираем окончательное разложение:

$(a^2 - x)(a^2 + x)(a^4 + x^2)$

Ответ: $(a^2 - x)(a^2 + x)(a^4 + x^2)$.

7) $0,04b^4 - a^{12}$

Представим выражение как разность квадратов.

$0,04b^4 = (0,2b^2)^2$

$a^{12} = (a^6)^2$

Получаем: $(0,2b^2)^2 - (a^6)^2$.

Применяем формулу, где $a = 0,2b^2$ и $b = a^6$:

$(0,2b^2 - a^6)(0,2b^2 + a^6)$

Дальнейшее разложение на множители с рациональными коэффициентами невозможно.

Ответ: $(0,2b^2 - a^6)(0,2b^2 + a^6)$.

8) $-1 + a^6b^4$

Переставим слагаемые для удобства, чтобы получить стандартный вид разности:

$a^6b^4 - 1$

Представим выражение как разность квадратов.

$a^6b^4 = (a^3b^2)^2$

$1 = 1^2$

Получаем: $(a^3b^2)^2 - 1^2$.

Применяем формулу, где $a = a^3b^2$ и $b = 1$:

$(a^3b^2 - 1)(a^3b^2 + 1)$

Полученные множители нельзя разложить дальше с помощью формул разности квадратов или кубов.

Ответ: $(a^3b^2 - 1)(a^3b^2 + 1)$.