Номер 3, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 3, страница 31.

Условие.

3. Разложите на множители:

1) $6a - 9b$;

2) $4x - xy$;

3) $5ab - 5ac$;

4) $3m^2 - 6mn$;

5) $a^7 + a^4$;

6) $15mn^2 - 5mn$;

7) $24x^2y + 36xy^2$;

8) $-4x^8 + 16x^{15}$;

9) $3x^4 - 6x^3 + 9x^5$;

10) $8ab^3 - 12a^2b - 24a^2b^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы разложить на множители выражение $6a - 9b$, нужно найти общий множитель для каждого члена. Наибольший общий делитель (НОД) для коэффициентов 6 и 9 равен 3. Переменные $a$ и $b$ различны, поэтому общий переменный множитель отсутствует. Выносим число 3 за скобки: $6a - 9b = 3 \cdot 2a - 3 \cdot 3b = 3(2a - 3b)$.
Ответ: $3(2a - 3b)$

2) В выражении $4x - xy$ общий числовой множитель равен 1. Общий переменный множитель — это $x$, так как он присутствует в обоих членах. Выносим $x$ за скобки, разделив каждый член на $x$: $4x - xy = x(4 - y)$.
Ответ: $x(4 - y)$

3) В выражении $5ab - 5ac$ общий множитель состоит из общего числового множителя 5 и общего переменного множителя $a$. Таким образом, выносим за скобки $5a$: $5ab - 5ac = 5a(b - c)$.
Ответ: $5a(b - c)$

4) Для выражения $3m^2 - 6mn$ находим общий множитель. НОД коэффициентов 3 и 6 равен 3. Общая переменная — $m$ в наименьшей степени, то есть $m^1$. Общий множитель для вынесения за скобки — $3m$. Получаем: $3m^2 - 6mn = 3m(m - 2n)$.
Ответ: $3m(m - 2n)$

5) В выражении $a^7 + a^4$ общий множитель — это переменная $a$ в наименьшей из представленных степеней, то есть $a^4$. Выносим $a^4$ за скобки: $a^7 + a^4 = a^4 \cdot a^{7-4} + a^4 \cdot 1 = a^4(a^3 + 1)$.
Ответ: $a^4(a^3 + 1)$

6) В выражении $15mn^2 - 5mn$ находим общий множитель. НОД коэффициентов 15 и 5 равен 5. Общие переменные — $m$ и $n$, взятые в наименьших степенях (в данном случае $m^1$ и $n^1$). Общий множитель — $5mn$. Выносим его за скобки: $15mn^2 - 5mn = 5mn(3n - 1)$.
Ответ: $5mn(3n - 1)$

7) Для выражения $24x^2y + 36xy^2$ находим общий множитель. НОД коэффициентов 24 и 36 равен 12. Общие переменные — $x$ и $y$ в наименьших степенях, то есть $x^1$ и $y^1$. Общий множитель — $12xy$. Выносим его за скобки: $24x^2y + 36xy^2 = 12xy(2x + 3y)$.
Ответ: $12xy(2x + 3y)$

8) В выражении $-4x^8 + 16x^{15}$ для удобства можно поменять члены местами: $16x^{15} - 4x^8$. НОД коэффициентов 16 и 4 равен 4. Общий переменный множитель — $x$ в наименьшей степени, то есть $x^8$. Выносим за скобки $4x^8$: $16x^{15} - 4x^8 = 4x^8(4x^7 - 1)$.
Ответ: $4x^8(4x^7 - 1)$

9) В выражении $3x^4 - 6x^3 + 9x^5$ находим общий множитель. НОД коэффициентов 3, 6 и 9 равен 3. Общий переменный множитель — $x$ в наименьшей степени, то есть $x^3$. Выносим за скобки $3x^3$: $3x^3(x - 2 + 3x^2)$. Для стандартной формы записи упорядочим многочлен в скобках по убыванию степеней: $3x^3(3x^2 + x - 2)$.
Ответ: $3x^3(3x^2 + x - 2)$

10) В выражении $8ab^3 - 12a^2b - 24a^2b^2$ находим общий множитель. НОД коэффициентов 8, 12 и 24 равен 4. Общие переменные — $a$ (в наименьшей степени $a^1$) и $b$ (в наименьшей степени $b^1$). Общий множитель — $4ab$. Выносим его за скобки: $8ab^3 - 12a^2b - 24a^2b^2 = 4ab(2b^2 - 3a - 6ab)$.
Ответ: $4ab(2b^2 - 3a - 6ab)$