Номер 178, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 178, страница 30.

Условие.

178. Первая бригада работала на ремонте дороги 9 ч, после чего к ней присоединилась вторая бригада. Через 6 ч совместной работы была отремонтирована $\frac{1}{2}$ дороги. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада самостоятельно, если второй бригаде для этого требуется на 9 ч меньше, чем первой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество часов, за которое первая бригада может отремонтировать всю дорогу, работая самостоятельно. Согласно условию, второй бригаде для этого требуется на 9 часов меньше, значит, вторая бригада выполнит всю работу за $x-9$ часов. Важно отметить, что время работы не может быть отрицательным, поэтому $x > 9$.

Производительность труда (часть работы, выполняемая за 1 час) для каждой бригады будет следующей:

• Производительность первой бригады: $P_1 = \frac{1}{x}$ дороги/час.
• Производительность второй бригады: $P_2 = \frac{1}{x-9}$ дороги/час.

Первая бригада работала одна в течение 9 часов. За это время она выполнила часть работы, равную:$W_1 = P_1 \cdot t_1 = \frac{1}{x} \cdot 9 = \frac{9}{x}$

Затем к ней присоединилась вторая бригада, и они работали вместе 6 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:$P_{1+2} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-9}$

За 6 часов совместной работы они выполнили часть работы:$W_{1+2} = P_{1+2} \cdot t_2 = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x-9}\right) \cdot 6 = \frac{6}{x} + \frac{6}{x-9}$

Суммарно за все время была отремонтирована половина дороги, то есть $\frac{1}{2}$ всей работы. Составим уравнение, сложив объемы выполненной работы:$W_1 + W_{1+2} = \frac{1}{2}$$\frac{9}{x} + \frac{6}{x} + \frac{6}{x-9} = \frac{1}{2}$

Упростим левую часть уравнения:$\frac{15}{x} + \frac{6}{x-9} = \frac{1}{2}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-9)$:$\frac{15(x-9) + 6x}{x(x-9)} = \frac{1}{2}$$\frac{15x - 135 + 6x}{x^2 - 9x} = \frac{1}{2}$$\frac{21x - 135}{x^2 - 9x} = \frac{1}{2}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):$2(21x - 135) = 1(x^2 - 9x)$$42x - 270 = x^2 - 9x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:$x^2 - 9x - 42x + 270 = 0$$x^2 - 51x + 270 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = (-51)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 270 = 2601 - 1080 = 1521$Найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$$x_1 = \frac{51 + 39}{2} = \frac{90}{2} = 45$$x_2 = \frac{51 - 39}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Проверим найденные корни. Мы установили ограничение $x > 9$. Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет этому условию, так как время работы второй бригады ($x-9$) было бы отрицательным ($6-9=-3$), что невозможно. Следовательно, этот корень является посторонним.

Корень $x_1 = 45$ удовлетворяет условию $x > 9$. Это означает, что первая бригада может отремонтировать дорогу за 45 часов. Тогда время для второй бригады составит:$x - 9 = 45 - 9 = 36$ часов.

Ответ: первая бригада может отремонтировать дорогу за 45 часов, а вторая — за 36 часов.