Номер 171, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 171, страница 29.

Условие.

171. Из пункта $A$ в пункт $B$ автомобиль ехал по шоссейной дороге длиной 21 км, а из пункта $B$ в пункт $A$ возвращался по грунтовой дороге длиной 20 км, затратив на обратный путь на 6 мин больше, чем на путь из пункта $A$ в пункт $B$. С какой скоростью ехал автомобиль по грунтовой дороге, если по шоссе его скорость на 20 км/ч больше, чем по грунтовой дороге?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть искомая скорость автомобиля по грунтовой дороге равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, его скорость по шоссейной дороге будет $(x + 20)$ км/ч.

Время, которое автомобиль затратил на путь из пункта А в пункт В по шоссейной дороге, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость. Расстояние по шоссе — 21 км.

Время в пути по шоссе: $t_{ш} = \frac{21}{x + 20}$ часов.

Расстояние по грунтовой дороге из пункта В в пункт А составляет 20 км.

Время в пути по грунтовой дороге: $t_{г} = \frac{20}{x}$ часов.

По условию, на обратный путь по грунтовой дороге автомобиль затратил на 6 минут больше. Переведем 6 минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы:

$6 \text{ мин} = \frac{6}{60} \text{ ч} = \frac{1}{10} \text{ ч}$

Теперь можно составить уравнение, отражающее разницу во времени:

$t_{г} - t_{ш} = \frac{1}{10}$

Подставим в это уравнение выражения для времени:

$\frac{20}{x} - \frac{21}{x + 20} = \frac{1}{10}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 20)$:

$\frac{20(x + 20) - 21x}{x(x + 20)} = \frac{1}{10}$

Раскроем скобки и упростим числитель левой части:

$\frac{20x + 400 - 21x}{x^2 + 20x} = \frac{1}{10}$

$\frac{400 - x}{x^2 + 20x} = \frac{1}{10}$

Применим правило пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что $x > 0$ (скорость не может быть отрицательной или равной нулю):

$10(400 - x) = 1(x^2 + 20x)$

$4000 - 10x = x^2 + 20x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 20x + 10x - 4000 = 0$

$x^2 + 30x - 4000 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4000) = 900 + 16000 = 16900$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-30 + \sqrt{16900}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 + 130}{2} = \frac{100}{2} = 50$

$x_2 = \frac{-30 - \sqrt{16900}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 - 130}{2} = \frac{-160}{2} = -80$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -80$ не является решением задачи. Следовательно, скорость автомобиля по грунтовой дороге равна 50 км/ч.

Выполним проверку.
Скорость по грунтовой дороге: 50 км/ч.
Время по грунтовой дороге: $t_г = \frac{20 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0,4$ часа $= 0,4 \cdot 60 = 24$ минуты.
Скорость по шоссе: $50 + 20 = 70$ км/ч.
Время по шоссе: $t_ш = \frac{21 \text{ км}}{70 \text{ км/ч}} = 0,3$ часа $= 0,3 \cdot 60 = 18$ минут.
Разница во времени: $24 - 18 = 6$ минут. Это соответствует условию задачи.

Ответ: 50 км/ч.