Номер 166, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Решите уравнение методом замены переменной:

1) $(x^2 - 9)^2 - 4(x^2 - 9) + 3 = 0;$

2) $(x + 5)^4 - 10(x + 5)^2 + 9 = 0;$

3) $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8 = 0;$

4) $(x^2 + 4x - 4)^2 - 9x^2 - 36x + 44 = 0;$

5) $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = 12;$

6) $(x^4 - 2x^2)^2 - 14(x^4 - 2x^2) = 15.$

1)

Исходное уравнение: $(x^2 - 9)^2 - 4(x^2 - 9) + 3 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 9$. Тогда уравнение принимает вид: $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета: сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $x^2 - 9 = 1$.
$x^2 = 10$
$x_{1,2} = \pm\sqrt{10}$.

2. Если $t = 3$, то $x^2 - 9 = 3$.
$x^2 = 12$
$x_{3,4} = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{10}; \sqrt{10}; -2\sqrt{3}; 2\sqrt{3}$.

2)

Исходное уравнение: $(x + 5)^4 - 10(x + 5)^2 + 9 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = (x + 5)^2$. Так как $t$ является квадратом выражения, то $t \ge 0$. Уравнение можно переписать в виде $t^2 - 10t + 9 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $(x + 5)^2 = 1$.
$x + 5 = 1$ или $x + 5 = -1$.
$x_1 = 1 - 5 = -4$.
$x_2 = -1 - 5 = -6$.

2. Если $t = 9$, то $(x + 5)^2 = 9$.
$x + 5 = 3$ или $x + 5 = -3$.
$x_3 = 3 - 5 = -2$.
$x_4 = -3 - 5 = -8$.

Ответ: $-8; -6; -4; -2$.

3)

Исходное уравнение: $(x^2 + 3x)^2 - 2(x^2 + 3x) - 8 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 3x$. Уравнение примет вид: $t^2 - 2t - 8 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 4$, то $x^2 + 3x = 4$, или $x^2 + 3x - 4 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

2. Если $t = -2$, то $x^2 + 3x = -2$, или $x^2 + 3x + 2 = 0$.
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_3 = -1$ и $x_4 = -2$.

Ответ: $-4; -2; -1; 1$.

4)

Исходное уравнение: $(x^2 + 4x - 4)^2 - 9x^2 - 36x + 44 = 0$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить повторяющееся выражение: $(x^2 + 4x - 4)^2 - 9(x^2 + 4x) + 44 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + 4x$. Тогда уравнение примет вид: $(t - 4)^2 - 9t + 44 = 0$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $t$:
$t^2 - 8t + 16 - 9t + 44 = 0$
$t^2 - 17t + 60 = 0$.

Найдем корни по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 17$, $t_1 \cdot t_2 = 60$. Корни $t_1 = 12$ и $t_2 = 5$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 12$, то $x^2 + 4x = 12$, или $x^2 + 4x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -6$.

2. Если $t = 5$, то $x^2 + 4x = 5$, или $x^2 + 4x - 5 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_3 = 1$ и $x_4 = -5$.

Ответ: $-6; -5; 1; 2$.

5)

Исходное уравнение: $(x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) = 12$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2 + x$. Уравнение примет вид: $(t + 1)(t + 2) = 12$.

Раскроем скобки: $t^2 + 2t + t + 2 = 12$, что приводит к уравнению $t^2 + 3t - 10 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$, то $x^2 + x = 2$, или $x^2 + x - 2 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

2. Если $t = -5$, то $x^2 + x = -5$, или $x^2 + x + 5 = 0$.
Найдем дискриминант этого уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 1 - 20 = -19$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $-2; 1$.

6)

Исходное уравнение: $(x^4 - 2x^2)^2 - 14(x^4 - 2x^2) = 15$.

Перенесем 15 в левую часть: $(x^4 - 2x^2)^2 - 14(x^4 - 2x^2) - 15 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = x^4 - 2x^2$. Уравнение примет вид: $t^2 - 14t - 15 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 15$ и $t_2 = -1$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 15$, то $x^4 - 2x^2 = 15$, или $x^4 - 2x^2 - 15 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: $y = x^2$, где $y \ge 0$.
$y^2 - 2y - 15 = 0$.
По теореме Виета, корни $y_1 = 5$ и $y_2 = -3$.
Корень $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому отбрасываем его.
Остается $y = 5$, значит $x^2 = 5$, откуда $x_{1,2} = \pm\sqrt{5}$.

2. Если $t = -1$, то $x^4 - 2x^2 = -1$, или $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$.
Это полный квадрат: $(x^2 - 1)^2 = 0$.
$x^2 - 1 = 0$.
$x^2 = 1$, откуда $x_{3,4} = \pm 1$.

Ответ: $-\sqrt{5}; -1; 1; \sqrt{5}$.