Номер 160, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 1 - номер 160, страница 27.

Условие.

160. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 1}$;

2) $y = \frac{2x^2 - 5x + 2}{x - 2} - \frac{x^2 - 9}{x + 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $y = \frac{x^2 - 7x + 6}{x - 1}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, откуда $x \neq 1$.
Далее, упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 - 7x + 6 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 6. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.
Тогда числитель можно представить в виде $x^2 - 7x + 6 = (x - 1)(x - 6)$.
Подставим это в исходную функцию:
$y = \frac{(x - 1)(x - 6)}{x - 1}$
Так как $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$:
$y = x - 6$
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком прямой $y = x - 6$ за исключением точки, где $x=1$. Эта точка будет "выколота" на графике.
Найдем координаты этой выколотой точки. Подставим $x = 1$ в уравнение прямой $y = x - 6$:
$y = 1 - 6 = -5$
Следовательно, точка с координатами $(1; -5)$ не принадлежит графику функции.
Графиком функции является прямая линия, проходящая, например, через точки $(0; -6)$ и $(6; 0)$, с выколотой точкой $(1; -5)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 6$ с выколотой точкой $(1; -5)$.

2) $y = \frac{2x^2 - 5x + 2}{x - 2} - \frac{x^2 - 9}{x + 3}$

Найдем область определения функции. Знаменатели обеих дробей не могут быть равны нулю:
$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$
$x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$
Таким образом, область определения функции: все действительные числа, кроме $x=2$ и $x=-3$.
Упростим каждую дробь по отдельности.
Для первой дроби $\frac{2x^2 - 5x + 2}{x - 2}$ разложим числитель на множители. Решим уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$.
Дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{5+3}{4} = 2$, $x_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{1}{2}$.
Значит, $2x^2 - 5x + 2 = 2(x - 2)(x - \frac{1}{2}) = (x - 2)(2x - 1)$.
Первая дробь: $\frac{(x - 2)(2x - 1)}{x - 2} = 2x - 1$ (при $x \neq 2$).
Для второй дроби $\frac{x^2 - 9}{x + 3}$ разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Вторая дробь: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} = x - 3$ (при $x \neq -3$).
Теперь подставим упрощенные выражения в исходную функцию:
$y = (2x - 1) - (x - 3) = 2x - 1 - x + 3 = x + 2$.
Итак, на всей области определения функция совпадает с линейной функцией $y = x + 2$. Графиком является прямая $y = x + 2$ с двумя выколотыми точками, соответствующими значениям $x=2$ и $x=-3$.
Найдем координаты выколотых точек:
1. При $x = 2$: $y = 2 + 2 = 4$. Координаты первой выколотой точки $(2; 4)$.
2. При $x = -3$: $y = -3 + 2 = -1$. Координаты второй выколотой точки $(-3; -1)$.
Графиком функции является прямая линия $y=x+2$, проходящая, например, через точки $(0; 2)$ и $(-2; 0)$, с выколотыми точками $(2; 4)$ и $(-3; -1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x + 2$ с выколотыми точками $(2; 4)$ и $(-3; -1)$.