Номер 154, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 154, страница 26.

Условие.

154. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 1 больше соответствующих корней уравнения $x^2 + 5x - 7 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы составить новое квадратное уравнение, корни которого на 1 больше корней исходного уравнения $x^2 + 5x - 7 = 0$, можно найти сумму и произведение новых корней, а затем использовать обратную теорему Виета.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного уравнения $x^2 + 5x - 7 = 0$. По теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -5$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -7$

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни искомого уравнения. По условию задачи, они на 1 больше соответствующих корней исходного уравнения:
$y_1 = x_1 + 1$
$y_2 = x_2 + 1$

Теперь найдем сумму и произведение новых корней $y_1$ и $y_2$.

1. Сумма новых корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 + 1) + (x_2 + 1) = (x_1 + x_2) + 2$.
Подставляя известное значение $x_1 + x_2 = -5$, получаем:
$y_1 + y_2 = -5 + 2 = -3$.

2. Произведение новых корней:
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = (x_1x_2) + (x_1 + x_2) + 1$.
Подставляя известные значения $x_1x_2 = -7$ и $x_1 + x_2 = -5$, получаем:
$y_1 \cdot y_2 = -7 + (-5) + 1 = -11$.

3. Составление нового уравнения:
Искомое приведенное квадратное уравнение имеет вид $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$. Подставим найденные значения суммы и произведения. Для удобства запишем уравнение с переменной $x$:
$x^2 - (-3)x + (-11) = 0$
$x^2 + 3x - 11 = 0$.

Этот результат можно также получить методом замены. Если корень нового уравнения $y = x+1$, то корень старого $x = y-1$. Подставив $x=y-1$ в исходное уравнение, получим:
$(y-1)^2 + 5(y-1) - 7 = 0$
$y^2 - 2y + 1 + 5y - 5 - 7 = 0$
$y^2 + 3y - 11 = 0$.
Результаты совпадают.

Ответ: $x^2 + 3x - 11 = 0$