Номер 159, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

159. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$;

2) $\frac{2x + 10}{x^2 + x - 20}$;

3) $\frac{2x^2 + 9x - 18}{4x^2 - 9}$;

4) $\frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2}$;

5) $\frac{m^2 + 8m - 9}{m^2 + 12m + 27}$;

6) $\frac{b^3 - 27}{5b^2 - 16b + 3}$;

7) $\frac{9 - x^2}{15 - 2x - x^2}$;

8) $\frac{y^2 - 8y + 12}{12y - y^2 - 20}$;

9) $\frac{3x^2 + 2x - 1}{7x - 3x^2 - 2}$;

Для сокращения дроби необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить одинаковые множители.

Дана дробь $ \frac{x^2 - x - 6}{x - 3} $.

Разложим числитель $ x^2 - x - 6 $ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $ x^2 - x - 6 = 0 $.

По теореме Виета, сумма корней $ x_1 + x_2 = 1 $, а их произведение $ x_1 \cdot x_2 = -6 $. Подбором находим корни: $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -2 $.

Тогда квадратный трехчлен можно разложить на множители: $ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x - (-2)) = (x - 3)(x + 2) $.

Подставим разложение в исходную дробь:

$ \frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3} $

Сократим общий множитель $ (x - 3) $, при условии, что $ x - 3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 3 $.

$ \frac{\cancel{(x - 3)}(x + 2)}{\cancel{x - 3}} = x + 2 $

Ответ: $ x + 2 $

Дана дробь $ \frac{2x + 10}{x^2 + x - 20} $.

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки: $ 2x + 10 = 2(x + 5) $.

Разложим знаменатель $ x^2 + x - 20 $ на множители. Решим уравнение $ x^2 + x - 20 = 0 $.

По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = -1 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -20 $. Корни: $ x_1 = -5 $ и $ x_2 = 4 $.

Разложение знаменателя: $ x^2 + x - 20 = (x - (-5))(x - 4) = (x + 5)(x - 4) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{2(x + 5)}{(x + 5)(x - 4)} $

Сократим общий множитель $ (x + 5) $, при условии, что $ x + 5 \neq 0 $, то есть $ x \neq -5 $.

$ \frac{2\cancel{(x + 5)}}{\cancel{(x + 5)}(x - 4)} = \frac{2}{x - 4} $

Ответ: $ \frac{2}{x - 4} $

Дана дробь $ \frac{2x^2 + 9x - 18}{4x^2 - 9} $.

Разложим числитель $ 2x^2 + 9x - 18 $ на множители. Решим уравнение $ 2x^2 + 9x - 18 = 0 $.

Дискриминант $ D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 81 + 144 = 225 = 15^2 $.

Корни: $ x_1 = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $ и $ x_2 = \frac{-9 - 15}{4} = \frac{-24}{4} = -6 $.

Разложение числителя: $ 2(x - \frac{3}{2})(x - (-6)) = (2x - 3)(x + 6) $.

Знаменатель $ 4x^2 - 9 $ разложим по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $:

$ 4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(2x - 3)(x + 6)}{(2x - 3)(2x + 3)} $

Сократим общий множитель $ (2x - 3) $, при условии, что $ 2x - 3 \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{3}{2} $.

$ \frac{\cancel{(2x - 3)}(x + 6)}{\cancel{(2x - 3)}(2x + 3)} = \frac{x + 6}{2x + 3} $

Ответ: $ \frac{x + 6}{2x + 3} $

Дана дробь $ \frac{36a^2 - 12a + 1}{6a^2 + 11a - 2} $.

Числитель $ 36a^2 - 12a + 1 $ является полным квадратом: $ (6a)^2 - 2 \cdot 6a \cdot 1 + 1^2 = (6a - 1)^2 $.

Разложим знаменатель $ 6a^2 + 11a - 2 $ на множители. Решим уравнение $ 6a^2 + 11a - 2 = 0 $.

Дискриминант $ D = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169 = 13^2 $.

Корни: $ a_1 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $ и $ a_2 = \frac{-11 - 13}{12} = \frac{-24}{12} = -2 $.

Разложение знаменателя: $ 6(a - \frac{1}{6})(a - (-2)) = (6a - 1)(a + 2) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(6a - 1)^2}{(6a - 1)(a + 2)} = \frac{(6a - 1)(6a - 1)}{(6a - 1)(a + 2)} $

Сократим общий множитель $ (6a - 1) $, при условии, что $ 6a - 1 \neq 0 $, то есть $ a \neq \frac{1}{6} $.

$ \frac{\cancel{(6a - 1)}(6a - 1)}{\cancel{(6a - 1)}(a + 2)} = \frac{6a - 1}{a + 2} $

Ответ: $ \frac{6a - 1}{a + 2} $

Дана дробь $ \frac{m^2 + 8m - 9}{m^2 + 12m + 27} $.

Разложим числитель $ m^2 + 8m - 9 $, решив уравнение $ m^2 + 8m - 9 = 0 $. По теореме Виета, $ m_1 + m_2 = -8 $ и $ m_1 \cdot m_2 = -9 $. Корни: $ m_1 = 1, m_2 = -9 $. Разложение: $ (m - 1)(m + 9) $.

Разложим знаменатель $ m^2 + 12m + 27 $, решив уравнение $ m^2 + 12m + 27 = 0 $. По теореме Виета, $ m_1 + m_2 = -12 $ и $ m_1 \cdot m_2 = 27 $. Корни: $ m_1 = -3, m_2 = -9 $. Разложение: $ (m + 3)(m + 9) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(m - 1)(m + 9)}{(m + 3)(m + 9)} $

Сократим общий множитель $ (m + 9) $, при условии, что $ m \neq -9 $.

$ \frac{(m - 1)\cancel{(m + 9)}}{(m + 3)\cancel{(m + 9)}} = \frac{m - 1}{m + 3} $

Ответ: $ \frac{m - 1}{m + 3} $

Дана дробь $ \frac{b^3 - 27}{5b^2 - 16b + 3} $.

Числитель $ b^3 - 27 $ разложим по формуле разности кубов $ a^3 - c^3 = (a - c)(a^2 + ac + c^2) $:

$ b^3 - 3^3 = (b - 3)(b^2 + 3b + 9) $.

Разложим знаменатель $ 5b^2 - 16b + 3 $. Решим уравнение $ 5b^2 - 16b + 3 = 0 $.

Дискриминант $ D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 = 14^2 $.

Корни: $ b_1 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3 $ и $ b_2 = \frac{16 - 14}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $.

Разложение знаменателя: $ 5(b - 3)(b - \frac{1}{5}) = (b - 3)(5b - 1) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(b - 3)(b^2 + 3b + 9)}{(b - 3)(5b - 1)} $

Сократим общий множитель $ (b - 3) $, при условии, что $ b \neq 3 $.

$ \frac{\cancel{(b - 3)}(b^2 + 3b + 9)}{\cancel{(b - 3)}(5b - 1)} = \frac{b^2 + 3b + 9}{5b - 1} $

Ответ: $ \frac{b^2 + 3b + 9}{5b - 1} $

Дана дробь $ \frac{9 - x^2}{15 - 2x - x^2} $.

Числитель $ 9 - x^2 $ разложим по формуле разности квадратов: $ 3^2 - x^2 = (3 - x)(3 + x) $.

Разложим знаменатель $ 15 - 2x - x^2 $. Вынесем -1 за скобки: $ -(x^2 + 2x - 15) $.

Решим уравнение $ x^2 + 2x - 15 = 0 $. По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = -2 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -15 $. Корни: $ x_1 = -5, x_2 = 3 $.

Разложение $ x^2 + 2x - 15 $ будет $ (x + 5)(x - 3) $.

Тогда знаменатель $ 15 - 2x - x^2 = -(x + 5)(x - 3) = (x + 5)(3 - x) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(3 - x)(3 + x)}{(x + 5)(3 - x)} $

Сократим общий множитель $ (3 - x) $, при условии, что $ x \neq 3 $.

$ \frac{\cancel{(3 - x)}(3 + x)}{(x + 5)\cancel{(3 - x)}} = \frac{3 + x}{x + 5} $

Ответ: $ \frac{x + 3}{x + 5} $

Дана дробь $ \frac{y^2 - 8y + 12}{12y - y^2 - 20} $.

Разложим числитель $ y^2 - 8y + 12 $. Решим уравнение $ y^2 - 8y + 12 = 0 $. По теореме Виета, $ y_1 + y_2 = 8 $ и $ y_1 \cdot y_2 = 12 $. Корни: $ y_1 = 2, y_2 = 6 $. Разложение: $ (y - 2)(y - 6) $.

Разложим знаменатель $ 12y - y^2 - 20 = -(y^2 - 12y + 20) $. Решим уравнение $ y^2 - 12y + 20 = 0 $. По теореме Виета, $ y_1 + y_2 = 12 $ и $ y_1 \cdot y_2 = 20 $. Корни: $ y_1 = 2, y_2 = 10 $.

Разложение $ y^2 - 12y + 20 $ будет $ (y - 2)(y - 10) $.

Знаменатель: $ -(y - 2)(y - 10) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(y - 2)(y - 6)}{-(y - 2)(y - 10)} $

Сократим общий множитель $ (y - 2) $, при условии, что $ y \neq 2 $.

$ \frac{\cancel{(y - 2)}(y - 6)}{-\cancel{(y - 2)}(y - 10)} = \frac{y - 6}{-(y - 10)} = \frac{y - 6}{10 - y} $

Ответ: $ \frac{y - 6}{10 - y} $

Дана дробь $ \frac{3x^2 + 2x - 1}{7x - 3x^2 - 2} $.

Разложим числитель $ 3x^2 + 2x - 1 $. Решим уравнение $ 3x^2 + 2x - 1 = 0 $.

Дискриминант $ D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2 $.

Корни: $ x_1 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $ и $ x_2 = \frac{-2 - 4}{6} = -1 $.

Разложение числителя: $ 3(x - \frac{1}{3})(x + 1) = (3x - 1)(x + 1) $.

Разложим знаменатель $ 7x - 3x^2 - 2 = -(3x^2 - 7x + 2) $. Решим уравнение $ 3x^2 - 7x + 2 = 0 $.

Дискриминант $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2 $.

Корни: $ x_1 = \frac{7 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 $ и $ x_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $.

Разложение $ 3x^2 - 7x + 2 $ будет $ 3(x - 2)(x - \frac{1}{3}) = (x - 2)(3x - 1) $.

Знаменатель: $ -(x - 2)(3x - 1) = (2 - x)(3x - 1) $.

Подставим разложения в дробь:

$ \frac{(3x - 1)(x + 1)}{(2 - x)(3x - 1)} $

Сократим общий множитель $ (3x - 1) $, при условии, что $ x \neq \frac{1}{3} $.

$ \frac{\cancel{(3x - 1)}(x + 1)}{(2 - x)\cancel{(3x - 1)}} = \frac{x + 1}{2 - x} $

Ответ: $ \frac{x + 1}{2 - x} $