Номер 158, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 158, страница 26.

Условие.

158. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $a^2 - 13a + 22;$

2) $-b^2 + 2b + 24;$

3) $100c^2 - 50c + 6;$

4) $-\frac{1}{6}x^2 - \frac{3}{2}x + 6;$

5) $\frac{1}{3}y^2 - \frac{1}{4}y - \frac{1}{12};$

6) $12x^2 - 60x + 75.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для разложения квадратного трёхчлена $a^2 - 13a + 22$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $a^2 - 13a + 22 = 0$. Это приведённое квадратное уравнение, для которого можно применить теорему Виета. Сумма корней равна $13$, а их произведение равно $22$. Подбором находим корни: $a_1 = 2$ и $a_2 = 11$.
Также можно найти корни через дискриминант. Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=-13$, $C=22$.
Дискриминант $D = B^2 - 4AC = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 - 88 = 81$.
Корни уравнения: $a_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{13 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{13 \pm 9}{2}$.
$a_1 = \frac{13 + 9}{2} = 11$.
$a_2 = \frac{13 - 9}{2} = 2$.
Разложение на множители производится по формуле $A(x - x_1)(x - x_2)$. В нашем случае $A=1$, поэтому:
$a^2 - 13a + 22 = 1 \cdot (a - 2)(a - 11) = (a - 2)(a - 11)$.
Ответ: $(a - 2)(a - 11)$.

2) Чтобы разложить на множители трёхчлен $-b^2 + 2b + 24$, приравняем его к нулю и решим уравнение $-b^2 + 2b + 24 = 0$. Для удобства умножим уравнение на $-1$:
$b^2 - 2b - 24 = 0$.
Коэффициенты: $A=1$, $B=-2$, $C=-24$.
Найдём дискриминант: $D = B^2 - 4AC = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$.
Корни уравнения: $b_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 10}{2}$.
$b_1 = \frac{2 + 10}{2} = 6$.
$b_2 = \frac{2 - 10}{2} = -4$.
Формула разложения: $A(b - b_1)(b - b_2)$. Важно использовать коэффициент $A$ из исходного трёхчлена, то есть $A = -1$.
$-b^2 + 2b + 24 = -1 \cdot (b - 6)(b - (-4)) = -(b - 6)(b + 4)$.
Ответ: $-(b - 6)(b + 4)$.

3) Рассмотрим трёхчлен $100c^2 - 50c + 6$. Найдём корни уравнения $100c^2 - 50c + 6 = 0$.
Коэффициенты: $A=100$, $B=-50$, $C=6$.
Найдём дискриминант: $D = B^2 - 4AC = (-50)^2 - 4 \cdot 100 \cdot 6 = 2500 - 2400 = 100$.
Корни уравнения: $c_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{50 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 100} = \frac{50 \pm 10}{200}$.
$c_1 = \frac{50 + 10}{200} = \frac{60}{200} = \frac{3}{10}$.
$c_2 = \frac{50 - 10}{200} = \frac{40}{200} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Применим формулу разложения $A(c - c_1)(c - c_2)$:
$100c^2 - 50c + 6 = 100(c - \frac{3}{10})(c - \frac{1}{5})$.
Для получения целочисленных коэффициентов в множителях, представим $100$ как $10 \cdot 10$ и внесём каждый множитель $10$ в соответствующую скобку:
$10(c - \frac{3}{10}) \cdot 10(c - \frac{1}{5}) = (10c - 3)(10c - 2)$.
Ответ: $(10c - 3)(10c - 2)$.

4) Для разложения трёхчлена $-\frac{1}{6}x^2 - \frac{3}{2}x + 6$ сначала решим уравнение $-\frac{1}{6}x^2 - \frac{3}{2}x + 6 = 0$.
Умножим обе части уравнения на $-6$, чтобы избавиться от дробей и отрицательного коэффициента при $x^2$:
$x^2 + 9x - 36 = 0$.
Найдём дискриминант: $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{-9 \pm 15}{2}$.
$x_1 = \frac{-9 + 15}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-9 - 15}{2} = -12$.
Подставим корни в формулу разложения $A(x - x_1)(x - x_2)$, где $A$ — коэффициент при $x^2$ в исходном трёхчлене, то есть $A = -\frac{1}{6}$.
$-\frac{1}{6}x^2 - \frac{3}{2}x + 6 = -\frac{1}{6}(x - 3)(x - (-12)) = -\frac{1}{6}(x - 3)(x + 12)$.
Ответ: $-\frac{1}{6}(x - 3)(x + 12)$.

5) Разложим на множители трёхчлен $\frac{1}{3}y^2 - \frac{1}{4}y - \frac{1}{12}$. Для этого решим уравнение $\frac{1}{3}y^2 - \frac{1}{4}y - \frac{1}{12} = 0$.
Умножим обе части на $12$ (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4 и 12):
$12 \cdot (\frac{1}{3}y^2 - \frac{1}{4}y - \frac{1}{12}) = 0 \implies 4y^2 - 3y - 1 = 0$.
Найдём дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.
Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 5}{8}$.
$y_1 = \frac{3 + 5}{8} = 1$.
$y_2 = \frac{3 - 5}{8} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$.
Используем формулу $A(y - y_1)(y - y_2)$, где $A$ — коэффициент из исходного трёхчлена, $A = \frac{1}{3}$.
$\frac{1}{3}y^2 - \frac{1}{4}y - \frac{1}{12} = \frac{1}{3}(y - 1)(y - (-\frac{1}{4})) = \frac{1}{3}(y - 1)(y + \frac{1}{4})$.
Ответ: $\frac{1}{3}(y - 1)(y + \frac{1}{4})$.

6) Рассмотрим трёхчлен $12x^2 - 60x + 75$. Сначала вынесем общий множитель за скобки. Все коэффициенты (12, -60, 75) делятся на 3:
$12x^2 - 60x + 75 = 3(4x^2 - 20x + 25)$.
Выражение в скобках $4x^2 - 20x + 25$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Здесь $a^2 = 4x^2 = (2x)^2$, значит $a=2x$.
$b^2 = 25 = 5^2$, значит $b=5$.
Проверим средний член: $2ab = 2 \cdot (2x) \cdot 5 = 20x$.
Следовательно, $4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2$.
В итоге получаем: $12x^2 - 60x + 75 = 3(2x - 5)^2$.
Ответ: $3(2x - 5)^2$.