Номер 155, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 155, страница 26.

Условие.

155. Составьте квадратное уравнение, корни которого в 4 раза больше соответствующих корней уравнения $2x^2 - 13x + 5 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Обозначим корни данного уравнения $2x^2 - 13x + 5 = 0$ как $x_1$ и $x_2$. Согласно теореме Виета, для этого уравнения (где коэффициенты $a=2$, $b=-13$, $c=5$) справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-13}{2} = \frac{13}{2}$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{2}$.

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни нового, искомого квадратного уравнения. По условию задачи, они в 4 раза больше соответствующих корней исходного уравнения, то есть:

$y_1 = 4x_1$

$y_2 = 4x_2$

Теперь найдем сумму и произведение для новых корней:

Сумма новых корней: $y_1 + y_2 = 4x_1 + 4x_2 = 4(x_1 + x_2) = 4 \cdot \frac{13}{2} = 26$.

Произведение новых корней: $y_1 \cdot y_2 = (4x_1)(4x_2) = 16(x_1 \cdot x_2) = 16 \cdot \frac{5}{2} = 40$.

Используя теорему, обратную теореме Виета, мы можем составить приведенное квадратное уравнение, зная сумму и произведение его корней. Уравнение будет иметь вид $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 \cdot y_2 = 0$.

Подставим найденные значения суммы (26) и произведения (40) в эту формулу:

$y^2 - 26y + 40 = 0$.

Это и есть искомое уравнение. Для единообразия можно записать его с переменной $x$.

Ответ: $x^2 - 26x + 40 = 0$.