Номер 152, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 152, страница 26.

Условие.

152. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - 7x + p = 0$ удовлетворяют условию $3x_1 - 5x_2 = 5$. Найдите корни уравнения и значение $p$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 7x + p = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Также дано дополнительное условие, связывающее эти корни: $3x_1 - 5x_2 = 5$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Для уравнения $x^2 - 7x + p = 0$ справедливы следующие соотношения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = p$.

Таким образом, мы имеем систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $x_1$ и $x_2$:
1) $x_1 + x_2 = 7$
2) $3x_1 - 5x_2 = 5$

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $x_1$:
$x_1 = 7 - x_2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$3(7 - x_2) - 5x_2 = 5$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x_2$:
$21 - 3x_2 - 5x_2 = 5$
$21 - 8x_2 = 5$
$-8x_2 = 5 - 21$
$-8x_2 = -16$
$x_2 = \frac{-16}{-8} = 2$

Теперь, зная $x_2$, найдем $x_1$ из выражения $x_1 = 7 - x_2$:
$x_1 = 7 - 2 = 5$

Итак, мы нашли корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = 2$.

Осталось найти значение параметра $p$. Согласно теореме Виета, $p$ равно произведению корней:
$p = x_1 \cdot x_2 = 5 \cdot 2 = 10$.

Проверка:
Подставим $p=10$ в исходное уравнение: $x^2 - 7x + 10 = 0$. Его корни действительно равны 2 и 5. Проверим дополнительное условие $3x_1 - 5x_2 = 5$, подставив $x_1 = 5$ и $x_2 = 2$:
$3(5) - 5(2) = 15 - 10 = 5$.
Условие выполняется.

Ответ: корни уравнения равны 5 и 2; значение $p = 10$.