Номер 156, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 156, страница 26.

Условие.

156. Сумма квадратов корней уравнения $2x^2 + ax - 3 = 0$ равна $\frac{37}{4}$. Найдите значение $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $2x^2 + ax - 3 = 0$. Согласно условию задачи, сумма квадратов этих корней равна $\frac{37}{4}$: $x_1^2 + x_2^2 = \frac{37}{4}$

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для данного уравнения ($A=2, B=a, C=-3$):
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{a}{2}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} = -\frac{3}{2}$

Сумму квадратов корней можно выразить через сумму и произведение корней с помощью следующего тождества: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в это тождество известные нам значения: значение суммы квадратов из условия и выражения для суммы и произведения корней из теоремы Виета. $\frac{37}{4} = (-\frac{a}{2})^2 - 2 \cdot (-\frac{3}{2})$

Получили уравнение относительно переменной $a$. Решим его:
$\frac{37}{4} = \frac{a^2}{4} + 3$
Перенесем 3 в левую часть:
$\frac{37}{4} - 3 = \frac{a^2}{4}$
Приведем числа в левой части к общему знаменателю:
$\frac{37}{4} - \frac{12}{4} = \frac{a^2}{4}$
$\frac{25}{4} = \frac{a^2}{4}$
Умножим обе части уравнения на 4:
$a^2 = 25$
Извлечем квадратный корень:
$a = \pm\sqrt{25}$
$a_1 = 5$, $a_2 = -5$

Необходимо убедиться, что при найденных значениях $a$ уравнение имеет действительные корни. Для этого проверим знак дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:
$D = a^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = a^2 + 24$
Поскольку $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 = 25$ в нашем случае), то $D = 25 + 24 = 49$. Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня при обоих найденных значениях $a$.

Ответ: $a = 5$ или $a = -5$.