Номер 162, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Разложите на множители многочлен:

1) $x^2 - 2xy - 63y^2;$

2) $2a^2 + 7ab + 3b^2;$

3) $3m^2 + 11mn - 4n^2.$

1) Чтобы разложить на множители многочлен $x^2 - 2xy - 63y^2$, можно рассматривать его как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Другой способ — представить средний член $-2xy$ в виде суммы двух слагаемых так, чтобы их коэффициенты в произведении давали $-63$ (коэффициент при $y^2$), а в сумме $-2$ (коэффициент при $xy$).

Найдем два числа, произведение которых равно $-63$, а сумма равна $-2$. Эти числа — $7$ и $-9$, так как $7 \cdot (-9) = -63$ и $7 + (-9) = -2$.

Представим $-2xy$ как $7xy - 9xy$:

$x^2 - 2xy - 63y^2 = x^2 + 7xy - 9xy - 63y^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(x^2 + 7xy) - (9xy + 63y^2) = x(x + 7y) - 9y(x + 7y)$

Теперь вынесем общий множитель $(x+7y)$:

$(x - 9y)(x + 7y)$

Ответ: $(x - 9y)(x + 7y)$.

2) Для разложения многочлена $2a^2 + 7ab + 3b^2$ представим средний член $7ab$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого нам нужно найти два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов при $a^2$ и $b^2$ (то есть $2 \cdot 3 = 6$), а их сумма равна коэффициенту при $ab$ (то есть $7$).

Этими числами являются $1$ и $6$, так как $1 \cdot 6 = 6$ и $1 + 6 = 7$.

Представим $7ab$ как $ab + 6ab$:

$2a^2 + 7ab + 3b^2 = 2a^2 + ab + 6ab + 3b^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(2a^2 + ab) + (6ab + 3b^2) = a(2a + b) + 3b(2a + b)$

Вынесем общий множитель $(2a+b)$:

$(a + 3b)(2a + b)$

Ответ: $(a + 3b)(2a + b)$.

3) Для разложения многочлена $3m^2 + 11mn - 4n^2$ применим тот же метод. Найдем два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов при $m^2$ и $n^2$ (то есть $3 \cdot (-4) = -12$), а их сумма равна коэффициенту при $mn$ (то есть $11$).

Этими числами являются $12$ и $-1$, так как $12 \cdot (-1) = -12$ и $12 + (-1) = 11$.

Представим $11mn$ как $12mn - mn$:

$3m^2 + 11mn - 4n^2 = 3m^2 + 12mn - mn - 4n^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(3m^2 + 12mn) - (mn + 4n^2) = 3m(m + 4n) - n(m + 4n)$

Вынесем общий множитель $(m+4n)$:

$(3m - n)(m + 4n)$

Ответ: $(3m - n)(m + 4n)$.