Номер 165, страница 28 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 165, страница 28.

Условие.

165. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 + 8x}{x + 10} = \frac{20}{x + 10}$;

2) $\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4} = \frac{2x - 2}{x^2 - 4}$;

3) $\frac{5x + 3}{x + 5} = \frac{3x + 1}{x + 2}$;

4) $\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{4}$;

5) $\frac{14}{x^2 - 2x} - \frac{21}{x^2 + 2x} = \frac{5}{x}$;

6) $\frac{x + 5}{x - 2} - \frac{5}{x - 5} = \frac{x - 20}{(x - 5)(x - 2)}$;

7) $\frac{1}{x + 6} + \frac{3}{x^2 - 6x} = \frac{72}{x^3 - 36x}$;

8) $\frac{3}{x - 2} - \frac{13}{x^2 + 2x + 4} = \frac{26 + 5x}{x^3 - 8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{x^2 + 8x}{x + 10} = \frac{20}{x + 10}$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x + 10 \neq 0 \implies x \neq -10$.
Так как знаменатели дробей равны, приравняем их числители:
$x^2 + 8x = 20$
$x^2 + 8x - 20 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета:
$x_1 + x_2 = -8$
$x_1 \cdot x_2 = -20$
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -10$.
Проверяем корни на соответствие ОДЗ. Корень $x = -10$ является посторонним, так как не входит в ОДЗ.
Ответ: 2

2) $\frac{2x^2 - 3x}{x^2 - 4} = \frac{2x - 2}{x^2 - 4}$
ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0 \implies (x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Приравниваем числители:
$2x^2 - 3x = 2x - 2$
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
Корень $x = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.
Ответ: 0,5

3) $\frac{5x + 3}{x + 5} = \frac{3x + 1}{x + 2}$
ОДЗ: $x + 5 \neq 0$ и $x + 2 \neq 0$, следовательно $x \neq -5$ и $x \neq -2$.
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$(5x + 3)(x + 2) = (3x + 1)(x + 5)$
$5x^2 + 10x + 3x + 6 = 3x^2 + 15x + x + 5$
$5x^2 + 13x + 6 = 3x^2 + 16x + 5$
$2x^2 - 3x + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$x_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1$
$x_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 1; 0,5

4) $\frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{4}$
ОДЗ: $x + 3 \neq 0$ и $x + 5 \neq 0$, следовательно $x \neq -3$ и $x \neq -5$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{(x+5) - (x+3)}{(x+3)(x+5)} = \frac{1}{4}$
$\frac{x+5-x-3}{x^2+8x+15} = \frac{1}{4}$
$\frac{2}{x^2+8x+15} = \frac{1}{4}$
$x^2 + 8x + 15 = 2 \cdot 4$
$x^2 + 8x + 15 = 8$
$x^2 + 8x + 7 = 0$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -8$ и $x_1 \cdot x_2 = 7$. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -7$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: -1; -7

5) $\frac{14}{x^2 - 2x} - \frac{21}{x^2 + 2x} = \frac{5}{x}$
Разложим знаменатели на множители: $\frac{14}{x(x - 2)} - \frac{21}{x(x + 2)} = \frac{5}{x}$.
ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 2, x \neq -2$.
Умножим обе части уравнения на $x$ (так как $x \neq 0$):
$\frac{14}{x - 2} - \frac{21}{x + 2} = 5$
Приведем к общему знаменателю $(x-2)(x+2)$:
$\frac{14(x+2) - 21(x-2)}{(x-2)(x+2)} = 5$
$\frac{14x+28-21x+42}{x^2-4} = 5$
$\frac{-7x+70}{x^2-4} = 5$
$-7x + 70 = 5(x^2 - 4)$
$-7x + 70 = 5x^2 - 20$
$5x^2 + 7x - 90 = 0$
Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-90) = 49 + 1800 = 1849 = 43^2$.
$x_1 = \frac{-7 + 43}{10} = \frac{36}{10} = 3.6$
$x_2 = \frac{-7 - 43}{10} = \frac{-50}{10} = -5$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 3,6; -5

6) $\frac{x + 5}{x - 2} - \frac{5}{x - 5} = \frac{x - 20}{(x - 5)(x - 2)}$
ОДЗ: $x \neq 2$ и $x \neq 5$.
Приведем левую часть к общему знаменателю $(x-2)(x-5)$:
$\frac{(x+5)(x-5) - 5(x-2)}{(x-2)(x-5)} = \frac{x - 20}{(x-5)(x-2)}$
Приравниваем числители:
$x^2 - 25 - 5x + 10 = x - 20$
$x^2 - 5x - 15 = x - 20$
$x^2 - 6x + 5 = 0$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6$ и $x_1 \cdot x_2 = 5$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Корень $x = 5$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Ответ: 1

7) $\frac{1}{x + 6} + \frac{3}{x^2 - 6x} = \frac{72}{x^3 - 36x}$
Разложим знаменатели на множители: $\frac{1}{x + 6} + \frac{3}{x(x - 6)} = \frac{72}{x(x-6)(x+6)}$.
ОДЗ: $x \neq 0, x \neq 6, x \neq -6$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x-6)(x+6)$:
$1 \cdot x(x-6) + 3 \cdot (x+6) = 72$
$x^2 - 6x + 3x + 18 = 72$
$x^2 - 3x - 54 = 0$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = -54$. Корни: $x_1 = 9$ и $x_2 = -6$.
Корень $x = -6$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Ответ: 9

8) $\frac{3}{x - 2} - \frac{13}{x^2 + 2x + 4} = \frac{26 + 5x}{x^3 - 8}$
Разложим знаменатель правой части по формуле разности кубов: $x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)$.
ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. (Выражение $x^2+2x+4$ всегда больше нуля).
Умножим обе части на общий знаменатель $(x-2)(x^2+2x+4)$:
$3(x^2 + 2x + 4) - 13(x - 2) = 26 + 5x$
$3x^2 + 6x + 12 - 13x + 26 = 26 + 5x$
$3x^2 - 7x + 38 = 26 + 5x$
$3x^2 - 12x + 12 = 0$
Разделим уравнение на 3:
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
$x = 2$
Полученный корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: корней нет