Номер 170, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. Скорость первого велосипедиста на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому 60 км он проезжает на 1 ч быстрее второго велосипедиста. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Исходя из условия задачи, скорость первого велосипедиста на 3 км/ч больше, следовательно, она равна $(x + 3)$ км/ч.

Оба велосипедиста проезжают расстояние, равное 60 км. Время движения можно рассчитать по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое затратил на путь второй велосипедист, составляет $t_2 = \frac{60}{x}$ часов.

Время, которое затратил на путь первый велосипедист, составляет $t_1 = \frac{60}{x+3}$ часов.

В условии сказано, что первый велосипедист проезжает 60 км на 1 час быстрее второго. Это означает, что время второго велосипедиста на 1 час больше времени первого. Математически это можно записать в виде уравнения:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+3} = 1$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$. Область допустимых значений: $x > 0$.

$\frac{60(x+3) - 60x}{x(x+3)} = 1$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{60x + 180 - 60x}{x^2 + 3x} = 1$

$\frac{180}{x^2 + 3x} = 1$

Это уравнение эквивалентно следующему:

$x^2 + 3x = 180$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 180 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, вычислив дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$

Теперь найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Так как $x$ представляет собой скорость, эта величина не может быть отрицательной. Поэтому корень $x_2 = -15$ не является решением задачи.

Таким образом, скорость второго велосипедиста составляет $x = 12$ км/ч.

Скорость первого велосипедиста равна $x + 3 = 12 + 3 = 15$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 15 км/ч, скорость второго велосипедиста — 12 км/ч.