Номер 175, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 175, страница 29.

Условие.

175. Для перевозки 60 т груза заказали определённое количество автомобилей одинаковой грузоподъёмности. В связи с поломкой двух автомобилей на каждый из оставшихся погрузили на 1 т больше, чем планировалось. Сколько автомобилей должно было работать на перевозке груза?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть $x$ — это количество автомобилей, которое изначально планировалось использовать для перевозки груза. Так как все автомобили имеют одинаковую грузоподъёмность, то каждый из них должен был перевезти $\frac{60}{x}$ тонн груза.

По условию задачи, два автомобиля сломались, поэтому для перевозки осталось $x-2$ автомобиля. Весь груз (60 т) был распределён между оставшимися автомобилями.

В результате на каждый из оставшихся $x-2$ автомобилей погрузили на 1 тонну больше, чем планировалось. Новая загрузка одного автомобиля составила $(\frac{60}{x} + 1)$ тонн.

Таким образом, произведение количества оставшихся автомобилей на их новую загрузку должно быть равно общему весу груза:
$(x-2) \cdot (\frac{60}{x} + 1) = 60$

Решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в левой части:
$x \cdot \frac{60}{x} + x \cdot 1 - 2 \cdot \frac{60}{x} - 2 \cdot 1 = 60$
$60 + x - \frac{120}{x} - 2 = 60$

Упростим выражение:
$x - \frac{120}{x} - 2 = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что верно, так как $x$ — это количество автомобилей):
$x^2 - 120 - 2x = 0$

Запишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 - 2x - 120 = 0$

Для нахождения корней воспользуемся формулой дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$
$\sqrt{D} = \sqrt{484} = 22$

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{2 + 22}{2 \cdot 1} = \frac{24}{2} = 12$
$x_2 = \frac{2 - 22}{2 \cdot 1} = \frac{-20}{2} = -10$

Поскольку количество автомобилей не может быть отрицательным числом, корень $x_2 = -10$ не является решением задачи. Следовательно, изначально планировалось использовать 12 автомобилей.

Проверим результат:
1. Планируемая загрузка: $60 \text{ т} / 12 \text{ авто} = 5 \text{ т/авто}$.
2. Фактическое количество автомобилей: $12 - 2 = 10 \text{ авто}$.
3. Фактическая загрузка: $60 \text{ т} / 10 \text{ авто} = 6 \text{ т/авто}$.
4. Разница в загрузке: $6 - 5 = 1 \text{ т}$.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: 12 автомобилей.