Номер 173, страница 29 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 173, страница 29.

Условие.

на весь путь было затрачено 3 ч.

173. Моторная лодка прошла 35 км по озеру, а затем 34 км по реке, впадающей в это озеро, за 2 ч. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки составляет $1 \text{ км/ч}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть собственная скорость моторной лодки составляет $v$ км/ч. Это скорость лодки в стоячей воде, например, в озере.

1. Движение по озеру:

Лодка прошла 35 км по озеру. Поскольку в озере нет течения, ее скорость была равна собственной скорости $v$. Время, затраченное на этот участок пути, можно найти по формуле $t = S/v$:

$t_{озеро} = \frac{35}{v}$ ч.

2. Движение по реке:

Затем лодка прошла 34 км по реке, которая впадает в озеро. Это означает, что лодка двигалась из озера в реку, то есть против течения. Скорость течения реки равна 1 км/ч. Скорость лодки против течения равна разности ее собственной скорости и скорости течения:

$v_{против\_течения} = (v - 1)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по реке, составляет:

$t_{река} = \frac{34}{v - 1}$ ч.

Отметим, что для движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $v > 1$.

3. Составление и решение уравнения:

Общее время, затраченное на весь путь, равно 2 часа. Это сумма времени движения по озеру и по реке:

$t_{озеро} + t_{река} = 2$

Подставим выражения для времени:

$\frac{35}{v} + \frac{34}{v - 1} = 2$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $v(v - 1)$ и умножим на него обе части уравнения (при условии, что $v \neq 0$ и $v \neq 1$):

$35(v - 1) + 34v = 2v(v - 1)$

Раскроем скобки:

$35v - 35 + 34v = 2v^2 - 2v$

Приведем подобные слагаемые:

$69v - 35 = 2v^2 - 2v$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2v^2 - 2v - 69v + 35 = 0$

$2v^2 - 71v + 35 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-71)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 35 = 5041 - 280 = 4761$

Найдем корни уравнения, используя формулу $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{4761} = 69$

$v_1 = \frac{71 + 69}{2 \cdot 2} = \frac{140}{4} = 35$

$v_2 = \frac{71 - 69}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5$

4. Проверка корней:

Нам нужно выбрать корень, который удовлетворяет физическому смыслу задачи. Мы установили, что скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $v > 1$.

• Корень $v_1 = 35$ км/ч удовлетворяет условию $35 > 1$.
• Корень $v_2 = 0.5$ км/ч не удовлетворяет условию, так как при такой скорости лодка не смогла бы двигаться против течения (0.5 < 1).

Следовательно, единственный подходящий корень — 35.

Ответ: собственная скорость лодки 35 км/ч.