Номер 176, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 1. Упражнения - номер 176, страница 30.

Условие.

176. Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше её знаменателя. Если числитель этой дроби увеличить на 6, а знаменатель — на 5, то полученная дробь будет на $ \frac{1}{2} $ больше исходной. Найдите исходную дробь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Пусть знаменатель исходной дроби равен $x$.

Согласно условию, числитель на 4 меньше знаменателя, следовательно, числитель равен $x - 4$.

Таким образом, исходная дробь имеет вид $\frac{x-4}{x}$.

Если числитель этой дроби увеличить на 6, он станет равен $(x-4) + 6 = x+2$.

Если знаменатель этой дроби увеличить на 5, он станет равен $x+5$.

Новая, полученная дробь будет равна $\frac{x+2}{x+5}$.

По условию задачи, полученная дробь на $\frac{1}{2}$ больше исходной. На основе этого составим уравнение:

$\frac{x+2}{x+5} = \frac{x-4}{x} + \frac{1}{2}$

Перенесем дробь с переменной в левую часть:

$\frac{x+2}{x+5} - \frac{x-4}{x} = \frac{1}{2}$

Для решения уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq -5$.

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{x(x+2) - (x+5)(x-4)}{x(x+5)} = \frac{1}{2}$

Раскроем скобки в числителе левой части:

$\frac{x^2 + 2x - (x^2 - 4x + 5x - 20)}{x(x+5)} = \frac{1}{2}$

$\frac{x^2 + 2x - (x^2 + x - 20)}{x(x+5)} = \frac{1}{2}$

$\frac{x^2 + 2x - x^2 - x + 20}{x(x+5)} = \frac{1}{2}$

После упрощения числителя получаем:

$\frac{x + 20}{x^2 + 5x} = \frac{1}{2}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции (крест-накрест):

$2(x + 20) = 1(x^2 + 5x)$

$2x + 40 = x^2 + 5x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 2x - 40 = 0$

$x^2 + 3x - 40 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два корня, произведение которых равно $-40$, а сумма равна $-3$. Этими числами являются $5$ и $-8$.

Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 5$, $x_2 = -8$.

Оба корня удовлетворяют области допустимых значений ($x \neq 0$ и $x \neq -5$). Проверим каждый из них.

Случай 1: $x = 5$

Если знаменатель равен 5, то числитель равен $x - 4 = 5 - 4 = 1$.

Исходная дробь: $\frac{1}{5}$.

Проверка: новая дробь равна $\frac{1+6}{5+5} = \frac{7}{10}$. Найдем разность между новой и исходной дробью: $\frac{7}{10} - \frac{1}{5} = \frac{7}{10} - \frac{2}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. Это соответствует условию задачи.

Случай 2: $x = -8$

Если знаменатель равен -8, то числитель равен $x - 4 = -8 - 4 = -12$.

Исходная дробь: $\frac{-12}{-8}$, что после сокращения дает $\frac{3}{2}$.

Проверка: новая дробь равна $\frac{-12+6}{-8+5} = \frac{-6}{-3} = 2$. Найдем разность: $2 - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$. Этот случай также математически удовлетворяет условию.

Однако, в условии задачи говорится об "обыкновенной дроби", что в стандартном понимании школьного курса математики предполагает дробь с натуральными (положительными целыми) числителем и знаменателем. Дробь $\frac{1}{5}$ полностью соответствует этому, в то время как дробь $\frac{-12}{-8}$ состоит из отрицательных чисел. Поэтому в качестве ответа следует выбрать первый вариант.

Ответ: $\frac{1}{5}$