Номер 164, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Решите уравнение:

1) $x^4 - 50x^2 + 49 = 0;$

2) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0;$

3) $4x^4 - 13x^2 + 3 = 0;$

4) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0.$

1) $x^4 - 50x^2 + 49 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то на новую переменную $t$ накладывается ограничение $t \ge 0$.

После замены уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 50t + 49 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 2500 - 196 = 2304$

$\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{50 \pm 48}{2}$

$t_1 = \frac{50 - 48}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$t_2 = \frac{50 + 48}{2} = \frac{98}{2} = 49$

Оба найденных значения для $t$ неотрицательны ($1 \ge 0$ и $49 \ge 0$), следовательно, оба являются решениями. Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

При $t=1$:
$x^2 = 1 \implies x = \pm\sqrt{1} \implies x_1 = 1, x_2 = -1$.

При $t=49$:
$x^2 = 49 \implies x = \pm\sqrt{49} \implies x_3 = 7, x_4 = -7$.

Ответ: $-7; -1; 1; 7$.

2) $x^4 - 5x^2 - 36 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 5t - 36 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 13}{2}$

$t_1 = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$t_2 = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$

Проверяем условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $t_2 = 9$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t=9$:

$x^2 = 9 \implies x = \pm\sqrt{9} \implies x_1 = 3, x_2 = -3$.

Ответ: $-3; 3$.

3) $4x^4 - 13x^2 + 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$4t^2 - 13t + 3 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 - 48 = 121$

$\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm 11}{2 \cdot 4} = \frac{13 \pm 11}{8}$

$t_1 = \frac{13 - 11}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{13 + 11}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$. Выполним обратную замену для каждого из них.

При $t=\frac{1}{4}$:
$x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}} \implies x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = -\frac{1}{2}$.

При $t=3$:
$x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3} \implies x_3 = \sqrt{3}, x_4 = -\sqrt{3}$.

Ответ: $-\sqrt{3}; -\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \sqrt{3}$.

4) $3x^4 + 8x^2 - 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$, где $t \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$3t^2 + 8t - 3 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

$\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 10}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6}$

$t_1 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$

$t_2 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Проверяем условие $t \ge 0$. Корень $t_1 = -3$ является посторонним. Корень $t_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию.

Выполним обратную замену для $t=\frac{1}{3}$:

$x^2 = \frac{1}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{\sqrt{3}}{3}$.