Номер 153, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 9x + 11 = 0$. Не решая уравнения, найдите значение выражения:

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$;

2) $x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$;

3) $x_1^2 + x_2^2$;

4) $x_1^3 + x_2^3$;

5) $(x_1 - x_2)^2$;

6) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$.

Для решения этой задачи, не находя корней уравнения, воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, где $x_1$ и $x_2$ являются его корнями, справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
• Произведение корней: $x_1 x_2 = q$

В нашем уравнении $x^2 - 9x + 11 = 0$ коэффициенты равны: $p = -9$ и $q = 11$.

Следовательно, для корней $x_1$ и $x_2$ данного уравнения мы можем найти их сумму и произведение:

$x_1 + x_2 = -(-9) = 9$

$x_1 x_2 = 11$

Теперь мы можем использовать эти два значения для нахождения значений всех предложенных выражений.

1) $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю $x_1x_2$:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_2}{x_1x_2} + \frac{x_1}{x_1x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$

Подставим известные нам значения суммы и произведения корней:

$\frac{9}{11}$

Ответ: $\frac{9}{11}$

2) $x_1^2x_2 + x_1x_2^2$

Вынесем за скобки общий множитель $x_1x_2$:

$x_1^2x_2 + x_1x_2^2 = x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим известные значения:

$11 \cdot 9 = 99$

Ответ: 99

3) $x_1^2 + x_2^2$

Это выражение можно преобразовать, выделив полный квадрат суммы $(x_1 + x_2)^2$:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Отсюда $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим известные значения:

$(9)^2 - 2 \cdot 11 = 81 - 22 = 59$

Ответ: 59

4) $x_1^3 + x_2^3$

Используем формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1x_2 + x_2^2) = (x_1 + x_2)((x_1^2 + x_2^2) - x_1x_2)$

Значение $x_1^2 + x_2^2$ мы уже нашли в пункте 3, оно равно 59. Подставим все значения:

$9 \cdot (59 - 11) = 9 \cdot 48 = 432$

Другой способ — использовать тождество $x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1+x_2)$:

$9^3 - 3 \cdot 11 \cdot 9 = 729 - 297 = 432$

Ответ: 432

5) $(x_1 - x_2)^2$

Раскроем квадрат разности: $x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2$.

Сгруппируем члены: $(x_1^2 + x_2^2) - 2x_1x_2$.

Подставим значение $x_1^2 + x_2^2 = 59$ из пункта 3:

$59 - 2 \cdot 11 = 59 - 22 = 37$

Альтернативно, можно использовать тождество $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$:

$9^2 - 4 \cdot 11 = 81 - 44 = 37$

Ответ: 37

6) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x_1x_2)^2$:

$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2}$

Подставим известные значения $x_1^2 + x_2^2 = 59$ (из пункта 3) и $x_1x_2 = 11$:

$\frac{59}{11^2} = \frac{59}{121}$

Ответ: $\frac{59}{121}$