Номер 5, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 5, страница 31.

Условие.

5. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

1) $a^2 - 14a + 49;$

2) $25y^2 + 10y + 1;$

3) $100a^2 - 180ab + 81b^2;$

4) $16m^2 + 49n^2 - 56mn;$

5) $x^{10} - 6x^5b + 9b^2;$

6) $36m^6 + n^{12} + 12m^3n^6.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы представить трехчлен $a^2 - 14a + 49$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В нашем выражении первый член $a^2$ соответствует $x^2$, следовательно, $x=a$. Третий член $49$ можно представить как $7^2$, что соответствует $y^2$, следовательно, $y=7$. Проверим, соответствует ли средний член $-14a$ удвоенному произведению $-2xy$. Подставим наши значения $x$ и $y$: $-2 \cdot a \cdot 7 = -14a$. Средний член совпадает. Таким образом, исходный трехчлен является квадратом разности $a$ и $7$.
Ответ: $(a-7)^2$

2) Для трехчлена $25y^2 + 10y + 1$ применим формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Первый член $25y^2$ можно представить как $(5y)^2$, что соответствует $x^2$, значит, $x=5y$. Третий член $1$ можно представить как $1^2$, что соответствует $y^2$, значит, $y=1$. Проверим средний член $10y$ на соответствие удвоенному произведению $2xy$. Подставим наши значения $x$ и $y$: $2 \cdot 5y \cdot 1 = 10y$. Средний член совпадает. Следовательно, данный трехчлен является квадратом суммы $5y$ и $1$.
Ответ: $(5y+1)^2$

3) Трехчлен $100a^2 - 180ab + 81b^2$ соответствует формуле квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Первый член $100a^2$ — это квадрат выражения $10a$, то есть $x=10a$. Третий член $81b^2$ — это квадрат выражения $9b$, то есть $y=9b$. Проверим средний член $-180ab$. Он должен быть равен $-2xy$. Подставим $x=10a$ и $y=9b$: $-2 \cdot 10a \cdot 9b = -180ab$. Все условия формулы выполняются, значит, трехчлен можно представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: $(10a-9b)^2$

4) Перепишем трехчлен $16m^2 + 49n^2 - 56mn$ в стандартном виде: $16m^2 - 56mn + 49n^2$. Используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Первый член $16m^2 = (4m)^2$, значит $x=4m$. Третий член $49n^2 = (7n)^2$, значит $y=7n$. Проверим средний член $-56mn$. Он должен быть равен $-2xy$. Подставим $x=4m$ и $y=7n$: $-2 \cdot 4m \cdot 7n = -56mn$. Средний член совпадает. Таким образом, выражение является квадратом разности.
Ответ: $(4m-7n)^2$

5) Для выражения $x^{10} - 6x^5b + 9b^2$ используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Первый член $x^{10}$ можно представить как $(x^5)^2$. Таким образом, $x$ в нашей формуле равен $x^5$. Третий член $9b^2$ можно представить как $(3b)^2$. Таким образом, $y$ в нашей формуле равен $3b$. Проверим средний член $-6x^5b$. Он должен соответствовать $-2xy$. Подставим найденные значения: $-2 \cdot x^5 \cdot 3b = -6x^5b$. Средний член совпадает, значит, выражение является квадратом двучлена.
Ответ: $(x^5-3b)^2$

6) Переставим члены в выражении $36m^6 + n^{12} + 12m^3n^6$ для удобства: $36m^6 + 12m^3n^6 + n^{12}$. Применим формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Первый член $36m^6$ — это квадрат от $6m^3$, то есть $x=6m^3$. Третий член $n^{12}$ — это квадрат от $n^6$, то есть $y=n^6$. Проверим средний член $12m^3n^6$. Он должен быть равен $2xy$. Подставим $x=6m^3$ и $y=n^6$: $2 \cdot 6m^3 \cdot n^6 = 12m^3n^6$. Все члены соответствуют формуле, поэтому выражение является квадратом суммы.
Ответ: $(6m^3+n^6)^2$