Номер 4, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 4, страница 31.

Условие.

4. Разложите на множители:

1) $3x + 3y - bx - by$;

2) $4n - nc - 4 + c$;

3) $x^7 + x^3 + 4x^4 + 4$;

4) $6m^2n - 3m^2 + 2mn^2 - mn$;

5) $4a^4 - 5a^3y - 8a + 10y$;

6) $a^3b^2 - a^2 + a^2b^2 - a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для разложения на множители многочлена $3x + 3y - bx - by$ применяется метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно: $(3x + 3y) + (-bx - by)$. В первой группе вынесем за скобки общий множитель $3$, а во второй группе вынесем $-b$: $3(x + y) - b(x + y)$. Теперь мы видим общий множитель $(x + y)$, который также можно вынести за скобки. В результате получаем произведение двух множителей: $(x + y)(3 - b)$.
Ответ: $(x + y)(3 - b)$.

2) В выражении $4n - nc - 4 + c$ сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым: $(4n - 4) + (-nc + c)$. Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы выносим $4$, из второй – $-c$: $4(n - 1) - c(n - 1)$. Теперь вынесем общий множитель $(n - 1)$ за скобки: $(n - 1)(4 - c)$.
Ответ: $(n - 1)(4 - c)$.

3) Чтобы разложить на множители выражение $x^7 + x^3 + 4x^4 + 4$, сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым: $(x^7 + x^3) + (4x^4 + 4)$. Из первой группы вынесем за скобки $x^3$, из второй – $4$: $x^3(x^4 + 1) + 4(x^4 + 1)$. Общий множитель $(x^4 + 1)$ выносим за скобки: $(x^4 + 1)(x^3 + 4)$.
Ответ: $(x^4 + 1)(x^3 + 4)$.

4) В многочлене $6m^2n - 3m^2 + 2mn^2 - mn$ сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым: $(6m^2n - 3m^2) + (2mn^2 - mn)$. Вынесем общие множители: из первой группы $3m^2$, из второй – $mn$. Получим: $3m^2(2n - 1) + mn(2n - 1)$. Теперь вынесем за скобки общий множитель $(2n - 1)$: $(2n - 1)(3m^2 + mn)$. Во втором множителе $(3m^2 + mn)$ можно вынести за скобки $m$: $m(3m + n)$. Окончательное разложение: $m(2n - 1)(3m + n)$.
Ответ: $m(3m + n)(2n - 1)$.

5) В выражении $4a^4 - 5a^3y - 8a + 10y$ сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым: $(4a^4 - 5a^3y) + (-8a + 10y)$. Из первой группы вынесем $a^3$, из второй – $-2$: $a^3(4a - 5y) - 2(4a - 5y)$. Общий множитель $(4a - 5y)$ выносим за скобки: $(4a - 5y)(a^3 - 2)$.
Ответ: $(4a - 5y)(a^3 - 2)$.

6) Для разложения на множители выражения $a^3b^2 - a^2 + a^2b^2 - a$ можно сгруппировать первое слагаемое с четвертым, а второе с третьим: $(a^3b^2 - a) + (-a^2 + a^2b^2)$. Вынесем общие множители: из первой группы $a$, из второй – $a^2$: $a(a^2b^2 - 1) + a^2(b^2 - 1)$. Такой способ не приводит к успеху. Попробуем другую группировку: первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым: $(a^3b^2 + a^2b^2) + (-a^2 - a)$. Вынесем общие множители: $a^2b^2(a + 1) - a(a + 1)$. Выносим общий множитель $(a + 1)$: $(a + 1)(a^2b^2 - a)$. Из второго множителя $(a^2b^2 - a)$ можно вынести $a$: $a(ab^2 - 1)$. Окончательный результат: $a(a + 1)(ab^2 - 1)$.
Ответ: $a(a + 1)(ab^2 - 1)$.