Номер 11, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Запишите рациональную дробь, содержащую переменную $x$, допустимыми значениями которой являются:

1) все числа, кроме 9;

2) все числа, кроме 2 и 3;

3) все числа, кроме -1, 0 и 1;

4) все числа.

1) все числа, кроме 9;
Допустимыми значениями переменной для рациональной дроби являются все значения, при которых ее знаменатель не равен нулю. Чтобы из множества допустимых значений было исключено только число 9, необходимо, чтобы знаменатель дроби обращался в ноль только при $x = 9$. Простейшим многочленом, который удовлетворяет этому условию, является $x - 9$. В качестве числителя можно выбрать любое число, отличное от нуля, например, 1. Таким образом, искомая дробь может иметь вид:
Ответ: $\frac{1}{x-9}$

2) все числа, кроме 2 и 3;
В этом случае знаменатель дроби должен обращаться в ноль при $x = 2$ и при $x = 3$. Чтобы построить такой многочлен, нужно перемножить множители, которые обращаются в ноль в этих точках, то есть $(x-2)$ и $(x-3)$. Получаем знаменатель: $(x-2)(x-3) = x^2 - 2x - 3x + 6 = x^2 - 5x + 6$. Этот многочлен равен нулю только при $x=2$ и $x=3$. Выбрав в качестве числителя 1, получим дробь.
Ответ: $\frac{1}{(x-2)(x-3)}$

3) все числа, кроме –1, 0 и 1;
Знаменатель дроби должен быть равен нулю при $x = -1$, $x = 0$ и $x = 1$. Соответствующие множители, которые обращаются в ноль в этих точках, это $(x - (-1))$, $(x-0)$ и $(x-1)$, то есть $(x+1)$, $x$ и $(x-1)$. Перемножив их, получим знаменатель: $x(x+1)(x-1) = x(x^2 - 1) = x^3 - x$. Этот многочлен равен нулю только в указанных точках. Числитель снова можем взять равным 1.
Ответ: $\frac{1}{x(x-1)(x+1)}$

4) все числа.
Если допустимыми значениями являются все числа, это означает, что знаменатель дроби никогда не обращается в ноль. Нужно подобрать такой многочлен для знаменателя, который не имеет действительных корней. Простейший пример такого многочлена — это выражение $x^2 + 1$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$ и, следовательно, никогда не равно нулю. Другой простой вариант - любое ненулевое число, например, 1. Выберем в качестве знаменателя $x^2+1$, а в качестве числителя — 1.
Ответ: $\frac{1}{x^2+1}$