Номер 7, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 7, страница 31.

Условие.

7. Разложите на множители:

1) $a^3 + 64;$

2) $8x^3 - y^3;$

3) $216 - m^3n^3;$

4) $b^9 + a^{12}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Для разложения выражения $a^3 + 64$ на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Представим выражение в виде суммы кубов: $a^3 + 64 = a^3 + 4^3$.
В данном случае $x=a$, а $y=4$.
Подставляем значения в формулу:
$a^3 + 4^3 = (a+4)(a^2 - a \cdot 4 + 4^2) = (a+4)(a^2 - 4a + 16)$.
Ответ: $(a+4)(a^2-4a+16)$.

2) Для разложения выражения $8x^3 - y^3$ на множители воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим выражение в виде разности кубов: $8x^3 - y^3 = (2x)^3 - y^3$.
Здесь $x=2x$, а $y=y$.
Подставляем в формулу:
$(2x)^3 - y^3 = (2x - y)((2x)^2 + (2x)y + y^2) = (2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$.
Ответ: $(2x - y)(4x^2 + 2xy + y^2)$.

3) Для разложения выражения $216 - m^3n^3$ на множители используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.
Представим выражение как разность кубов: $216 - m^3n^3 = 6^3 - (mn)^3$.
В этом случае $x=6$, а $y=mn$.
Применяем формулу:
$6^3 - (mn)^3 = (6 - mn)(6^2 + 6 \cdot mn + (mn)^2) = (6 - mn)(36 + 6mn + m^2n^2)$.
Ответ: $(6 - mn)(36 + 6mn + m^2n^2)$.

4) Для разложения выражения $b^9 + a^{12}$ на множители используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.
Для этого представим каждое слагаемое в виде куба: $b^9 = (b^3)^3$ и $a^{12} = (a^4)^3$.
Таким образом, выражение принимает вид: $(b^3)^3 + (a^4)^3$.
Здесь $x=b^3$, а $y=a^4$.
Подставляем в формулу суммы кубов:
$(b^3 + a^4)((b^3)^2 - b^3a^4 + (a^4)^2) = (b^3 + a^4)(b^6 - a^4b^3 + a^8)$.
Ответ: $(b^3 + a^4)(b^6 - a^4b^3 + a^8)$.