Номер 10, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 10, страница 32.

Условие.

10. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $2x - 3$;

2) $\frac{12 - c}{11}$;

3) $\frac{11}{12 - c}$;

4) $\frac{x - 5}{x + 5}$;

5) $\frac{5}{x^2 - 9}$;

6) $\frac{3}{x^4 + 1}$;

7) $\frac{5}{|x| - 2}$;

8) $\frac{x + 1}{|x| + 3}$;

9) $\frac{x + 3}{x^2 - 4x + 4}$;

10) $\frac{7}{b + 2} - \frac{5b}{b - 5}$;

11) $\frac{8}{x(x + 1)}$;

12) $\frac{3}{3 - \frac{3}{x}}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Выражение $2x - 3$ является многочленом. Многочлены определены для любых действительных значений переменной, так как не содержат операций деления на переменную или извлечения корня.
Ответ: $x$ — любое число.

2) Выражение $\frac{12 - c}{11}$ является дробью. Знаменатель этой дроби — число $11$, он не равен нулю. Числитель $12 - c$ определен для любого значения $c$. Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях переменной $c$.
Ответ: $c$ — любое число.

3) Выражение $\frac{11}{12 - c}$ является дробью. Дробное выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значение $c$, при котором знаменатель обращается в ноль:
$12 - c = 0$
$c = 12$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $c$, кроме $12$.
Ответ: $c \neq 12$.

4) Выражение $\frac{x - 5}{x + 5}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимое значение $x$:
$x + 5 = 0$
$x = -5$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $-5$.
Ответ: $x \neq -5$.

5) Выражение $\frac{5}{x^2 - 9}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x^2 - 9 = 0$
Используя формулу разности квадратов, получаем:
$(x - 3)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$
$x = 3$ или $x = -3$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $3$ и $-3$.
Ответ: $x \neq -3$ и $x \neq 3$.

6) Выражение $\frac{3}{x^4 + 1}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Рассмотрим знаменатель $x^4 + 1$. Так как любое число в четной степени неотрицательно, $x^4 \ge 0$ для любого $x$.
Тогда $x^4 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $x^4 + 1 \ge 1$.
Знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю.
Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

7) Выражение $\frac{5}{|x| - 2}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$|x| - 2 = 0$
$|x| = 2$
Это уравнение верно при $x = 2$ и $x = -2$.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $2$ и $-2$.
Ответ: $x \neq -2$ и $x \neq 2$.

8) Выражение $\frac{x + 1}{|x| + 3}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Рассмотрим знаменатель $|x| + 3$. Модуль числа $|x|$ всегда неотрицателен: $|x| \ge 0$.
Тогда $|x| + 3 \ge 0 + 3$, то есть $|x| + 3 \ge 3$.
Знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю.
Следовательно, выражение имеет смысл при любых значениях $x$.
Ответ: $x$ — любое число.

9) Выражение $\frac{x + 3}{x^2 - 4x + 4}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Рассмотрим знаменатель $x^2 - 4x + 4$. Это полный квадрат разности:
$x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2$
Приравняем знаменатель к нулю:
$(x - 2)^2 = 0$
$x - 2 = 0$
$x = 2$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $2$.
Ответ: $x \neq 2$.

10) Выражение $\frac{7}{b + 2} - \frac{5b}{b - 5}$ является разностью двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатели обеих дробей не равны нулю.
1. Для первой дроби знаменатель $b + 2 \neq 0$, откуда $b \neq -2$.
2. Для второй дроби знаменатель $b - 5 \neq 0$, откуда $b \neq 5$.
Оба условия должны выполняться одновременно.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $b$, кроме $-2$ и $5$.
Ответ: $b \neq -2$ и $b \neq 5$.

11) Выражение $\frac{8}{x(x + 1)}$ является дробью. Оно имеет смысл, когда его знаменатель не равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$x(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x + 1 = 0$
$x = 0$ или $x = -1$
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $0$ и $-1$.
Ответ: $x \neq -1$ и $x \neq 0$.

12) Выражение $\frac{3}{3 - \frac{3}{x}}$ является многоэтажной дробью. Оно имеет смысл, когда все знаменатели в нем не равны нулю.
1. Знаменатель внутренней дроби $\frac{3}{x}$ не должен быть равен нулю: $x \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби $3 - \frac{3}{x}$ не должен быть равен нулю:
$3 - \frac{3}{x} \neq 0$
$3 \neq \frac{3}{x}$
Умножим обе части на $x$ (это возможно, так как $x \neq 0$):
$3x \neq 3$
$x \neq 1$
Оба условия, $x \neq 0$ и $x \neq 1$, должны выполняться.
Следовательно, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме $0$ и $1$.
Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq 1$.