Номер 19, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 19, страница 34.

Условие.

19. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a-1)x = 2;$

2) $(a-2)x = a-2;$

3) $(a+3)x = a^2 + 6a + 9;$

4) $(a^2-16)x = a+4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Дано уравнение $(a-1)x = 2$. Это линейное уравнение относительно $x$. Его решение зависит от того, равен ли нулю коэффициент при $x$.

Если коэффициент $(a-1) \neq 0$, то есть $a \neq 1$, то уравнение имеет единственный корень. Мы можем разделить обе части уравнения на $(a-1)$ и получить:
$x = \frac{2}{a-1}$.

Если коэффициент $(a-1) = 0$, то есть $a = 1$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 2$. Это равенство ложно для любого значения $x$, поэтому при $a=1$ уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a=1$, корней нет; если $a \neq 1$, $x = \frac{2}{a-1}$.

2) Дано уравнение $(a-2)x = a-2$.

Если коэффициент $(a-2) \neq 0$, то есть $a \neq 2$, мы можем разделить обе части на $(a-2)$:
$x = \frac{a-2}{a-2} = 1$.
Уравнение имеет единственный корень $x=1$.

Если коэффициент $(a-2) = 0$, то есть $a=2$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$. Таким образом, при $a=2$ решением является любое действительное число.

Ответ: если $a=2$, $x$ - любое число; если $a \neq 2$, $x=1$.

3) Дано уравнение $(a+3)x = a^2+6a+9$.

Правая часть уравнения представляет собой полный квадрат: $a^2+6a+9 = (a+3)^2$. Уравнение можно переписать как $(a+3)x = (a+3)^2$.

Если коэффициент $(a+3) \neq 0$, то есть $a \neq -3$, мы можем разделить обе части на $(a+3)$:
$x = \frac{(a+3)^2}{a+3} = a+3$.
Уравнение имеет единственный корень $x = a+3$.

Если коэффициент $(a+3) = 0$, то есть $a=-3$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0^2$, то есть $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого значения $x$. Таким образом, при $a=-3$ решением является любое действительное число.

Ответ: если $a=-3$, $x$ - любое число; если $a \neq -3$, $x=a+3$.

4) Дано уравнение $(a^2-16)x = a+4$.

Коэффициент при $x$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов: $a^2-16 = (a-4)(a+4)$. Уравнение принимает вид $(a-4)(a+4)x = a+4$.

Рассмотрим случаи, когда коэффициент $(a^2-16)$ равен нулю. Это происходит при $a=4$ и $a=-4$.

Если $a=4$, уравнение становится $(4^2-16)x = 4+4$, то есть $0 \cdot x = 8$. Это равенство ложно, корней нет.

Если $a=-4$, уравнение становится $((-4)^2-16)x = -4+4$, то есть $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого $x$. Решением является любое действительное число.

Если коэффициент $(a^2-16) \neq 0$, то есть $a \neq 4$ и $a \neq -4$, мы можем разделить обе части на $(a^2-16)$:
$x = \frac{a+4}{a^2-16} = \frac{a+4}{(a-4)(a+4)}$.
Поскольку $a \neq -4$, мы можем сократить дробь на $(a+4)$:
$x = \frac{1}{a-4}$.

Ответ: если $a=-4$, $x$ - любое число; если $a=4$, корней нет; если $a \neq -4$ и $a \neq 4$, $x = \frac{1}{a-4}$.