Номер 25, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 25, страница 35.

Условие.

25. Выполните действия:

1) $ \frac{x+4}{2x-6} - \frac{x+1}{x-3}; $

2) $ \frac{a+3}{3a-3} + \frac{2-a}{5a-5}; $

3) $ \frac{x+5}{x-5} - \frac{x-1}{x+5}; $

4) $ \frac{4b}{3b-21} + \frac{3b}{14-2b}; $

5) $ \frac{3p}{3p+2q} - \frac{9p^2}{9p^2+12pq+4q^2}; $

6) $ \frac{4}{c^2-36} - \frac{2}{c^2-6c}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) $\frac{x+4}{2x-6} - \frac{x+1}{x-3}$

Сначала разложим на множители знаменатели дробей, чтобы найти общий знаменатель. Знаменатель первой дроби: $2x - 6 = 2(x-3)$. Знаменатель второй дроби: $x - 3$. Общий знаменатель для этих дробей - $2(x-3)$.

Приведем вторую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на 2: $\frac{x+1}{x-3} = \frac{2(x+1)}{2(x-3)} = \frac{2x+2}{2(x-3)}$

Теперь выполним вычитание дробей: $\frac{x+4}{2(x-3)} - \frac{2x+2}{2(x-3)} = \frac{(x+4) - (2x+2)}{2(x-3)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $\frac{x+4 - 2x - 2}{2(x-3)} = \frac{-x+2}{2(x-3)} = \frac{2-x}{2(x-3)}$

Ответ: $\frac{2-x}{2(x-3)}$

2) $\frac{a+3}{3a-3} + \frac{2-a}{5a-5}$

Разложим на множители знаменатели: $3a-3 = 3(a-1)$ $5a-5 = 5(a-1)$ Общий знаменатель равен $3 \cdot 5 \cdot (a-1) = 15(a-1)$.

Домножим первую дробь на 5, а вторую на 3, чтобы привести их к общему знаменателю: $\frac{5(a+3)}{15(a-1)} + \frac{3(2-a)}{15(a-1)}$

Сложим дроби: $\frac{5(a+3) + 3(2-a)}{15(a-1)} = \frac{5a+15+6-3a}{15(a-1)} = \frac{2a+21}{15(a-1)}$

Ответ: $\frac{2a+21}{15(a-1)}$

3) $\frac{x+5}{x-5} - \frac{x-1}{x+5}$

Знаменатели $(x-5)$ и $(x+5)$ являются взаимно простыми. Общий знаменатель равен их произведению: $(x-5)(x+5)$.

Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{(x+5)(x+5)}{(x-5)(x+5)} - \frac{(x-1)(x-5)}{(x-5)(x+5)}$

Выполним вычитание, используя формулы сокращенного умножения для числителей: $(x+5)^2 = x^2+10x+25$ и $(x-1)(x-5) = x^2-5x-x+5 = x^2-6x+5$. $\frac{(x^2+10x+25) - (x^2-6x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{x^2+10x+25 - x^2+6x-5}{x^2-25}$

Приведем подобные слагаемые в числителе: $\frac{16x+20}{x^2-25} = \frac{4(4x+5)}{x^2-25}$

Ответ: $\frac{16x+20}{x^2-25}$

4) $\frac{4b}{3b-21} + \frac{3b}{14-2b}$

Разложим знаменатели на множители: $3b-21 = 3(b-7)$ $14-2b = 2(7-b) = -2(b-7)$

Перепишем выражение, вынеся минус из знаменателя второй дроби: $\frac{4b}{3(b-7)} - \frac{3b}{2(b-7)}$

Общий знаменатель равен $3 \cdot 2 \cdot (b-7) = 6(b-7)$. Приведем дроби к нему: $\frac{2 \cdot 4b}{6(b-7)} - \frac{3 \cdot 3b}{6(b-7)} = \frac{8b}{6(b-7)} - \frac{9b}{6(b-7)}$

Выполним вычитание: $\frac{8b-9b}{6(b-7)} = \frac{-b}{6(b-7)}$

Ответ: $\frac{-b}{6(b-7)}$

5) $\frac{3p}{3p+2q} - \frac{9p^2}{9p^2+12pq+4q^2}$

Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом суммы: $9p^2+12pq+4q^2 = (3p)^2 + 2 \cdot (3p) \cdot (2q) + (2q)^2 = (3p+2q)^2$.

Общим знаменателем является $(3p+2q)^2$. Домножим первую дробь на $(3p+2q)$: $\frac{3p(3p+2q)}{(3p+2q)^2} - \frac{9p^2}{(3p+2q)^2}$

Выполним вычитание числителей: $\frac{3p(3p+2q) - 9p^2}{(3p+2q)^2} = \frac{9p^2+6pq - 9p^2}{(3p+2q)^2} = \frac{6pq}{(3p+2q)^2}$

Ответ: $\frac{6pq}{(3p+2q)^2}$

6) $\frac{4}{c^2-36} - \frac{2}{c^2-6c}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов и вынесение общего множителя: $c^2-36 = (c-6)(c+6)$ $c^2-6c = c(c-6)$

Общий знаменатель равен $c(c-6)(c+6)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Первую дробь домножим на $c$, вторую — на $(c+6)$: $\frac{4c}{c(c-6)(c+6)} - \frac{2(c+6)}{c(c-6)(c+6)}$

Выполним вычитание: $\frac{4c - 2(c+6)}{c(c-6)(c+6)} = \frac{4c - 2c - 12}{c(c-6)(c+6)} = \frac{2c - 12}{c(c-6)(c+6)}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки и сократим дробь: $\frac{2(c-6)}{c(c-6)(c+6)} = \frac{2}{c(c+6)}$

Ответ: $\frac{2}{c(c+6)}$