Номер 28, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 28, страница 36.

Условие.

28. Выполните умножение:

1) $\frac{3a}{b} \cdot \frac{b}{15a}$;

2) $\frac{mn^3}{24p} \cdot \left(-\frac{6p}{m^2n}\right)$;

3) $\frac{26x^7}{51y^5} \cdot \frac{34y^3}{39x^4}$;

4) $20m^6 \cdot \frac{3x^3}{5m^9}$;

5) $\frac{25k^6}{11p^3} \cdot 44p^9$;

6) $\frac{3x^3y^2}{8m^2n} \cdot \frac{16xm^3}{27y^4n^8} \cdot \frac{18n^2y^2}{4x^2m}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы умножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели: $ \frac{3a}{b} \cdot \frac{b}{15a} = \frac{3a \cdot b}{b \cdot 15a} $.
Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $a$ и множитель $b$ присутствуют и вверху, и внизу, поэтому их можно сократить.
$ \frac{3ab}{15ab} = \frac{3}{15} $
Осталось сократить числовую дробь: $ \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $.
Ответ: $ \frac{1}{5} $

2) Перемножим числители и знаменатели, учитывая знак минус: $ \frac{mn^3}{24p} \cdot (-\frac{6p}{m^2n}) = -\frac{mn^3 \cdot 6p}{24p \cdot m^2n} $.
Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты и переменные:
$ -\frac{6}{24} \cdot \frac{m}{m^2} \cdot \frac{n^3}{n} \cdot \frac{p}{p} $
Упростим каждую часть:
Числа: $ \frac{6}{24} = \frac{1}{4} $
Переменная $m$: $ \frac{m}{m^2} = m^{1-2} = m^{-1} = \frac{1}{m} $
Переменная $n$: $ \frac{n^3}{n} = n^{3-1} = n^2 $
Переменная $p$: $ \frac{p}{p} = 1 $
Собираем все вместе: $ -\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{m} \cdot n^2 \cdot 1 = -\frac{n^2}{4m} $.
Ответ: $ -\frac{n^2}{4m} $

3) Перемножаем дроби: $ \frac{26x^7}{51y^5} \cdot \frac{34y^3}{39x^4} = \frac{26x^7 \cdot 34y^3}{51y^5 \cdot 39x^4} $.
Сгруппируем коэффициенты и переменные: $ \frac{26 \cdot 34}{51 \cdot 39} \cdot \frac{x^7}{x^4} \cdot \frac{y^3}{y^5} $.
Сократим числовые коэффициенты, разложив их на простые множители: $26=2 \cdot 13$, $34=2 \cdot 17$, $51=3 \cdot 17$, $39=3 \cdot 13$.
$ \frac{(2 \cdot 13) \cdot (2 \cdot 17)}{(3 \cdot 17) \cdot (3 \cdot 13)} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{4}{9} $
Сократим переменные, используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{x^7}{x^4} = x^{7-4} = x^3 $
$ \frac{y^3}{y^5} = y^{3-5} = y^{-2} = \frac{1}{y^2} $
Объединяем полученные части: $ \frac{4}{9} \cdot x^3 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{4x^3}{9y^2} $.
Ответ: $ \frac{4x^3}{9y^2} $

4) Представим $20m^6$ как дробь $ \frac{20m^6}{1} $ и выполним умножение:
$ \frac{20m^6}{1} \cdot \frac{3x^3}{5m^9} = \frac{20m^6 \cdot 3x^3}{5m^9} = \frac{60m^6x^3}{5m^9} $.
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{60}{5} = 12 $.
Сократим степени с основанием $m$: $ \frac{m^6}{m^9} = m^{6-9} = m^{-3} = \frac{1}{m^3} $.
Переменная $x^3$ остается в числителе.
Объединяем все части: $ 12 \cdot \frac{1}{m^3} \cdot x^3 = \frac{12x^3}{m^3} $.
Ответ: $ \frac{12x^3}{m^3} $

5) Представим $44p^9$ как дробь $ \frac{44p^9}{1} $ и выполним умножение:
$ \frac{25k^6}{11p^3} \cdot \frac{44p^9}{1} = \frac{25k^6 \cdot 44p^9}{11p^3} $.
Сократим числовые коэффициенты: $ \frac{44}{11} = 4 $.
Сократим степени с основанием $p$: $ \frac{p^9}{p^3} = p^{9-3} = p^6 $.
Перемножим оставшиеся части: $ 25 \cdot 4 \cdot k^6 \cdot p^6 = 100k^6p^6 $.
Ответ: $ 100k^6p^6 $

6) Чтобы перемножить три дроби, перемножим все их числители и все их знаменатели:
$ \frac{3x^3y^2}{8m^2n} \cdot \frac{16xm^3}{27y^4n^8} \cdot \frac{18n^2y^2}{4x^2m} = \frac{3 \cdot 16 \cdot 18 \cdot x^3y^2 \cdot xm^3 \cdot n^2y^2}{8 \cdot 27 \cdot 4 \cdot m^2n \cdot y^4n^8 \cdot x^2m} $.
Сгруппируем и упростим отдельно коэффициенты и каждую переменную.
Коэффициенты: $ \frac{3 \cdot 16 \cdot 18}{8 \cdot 27 \cdot 4} = \frac{864}{864} = 1 $.
Переменная $x$: $ \frac{x^3 \cdot x}{x^2} = \frac{x^4}{x^2} = x^{4-2} = x^2 $.
Переменная $y$: $ \frac{y^2 \cdot y^2}{y^4} = \frac{y^4}{y^4} = 1 $.
Переменная $m$: $ \frac{m^3}{m^2 \cdot m} = \frac{m^3}{m^3} = 1 $.
Переменная $n$: $ \frac{n^2}{n \cdot n^8} = \frac{n^2}{n^9} = n^{2-9} = n^{-7} = \frac{1}{n^7} $.
Объединим полученные результаты: $ 1 \cdot x^2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{n^7} = \frac{x^2}{n^7} $.
Ответ: $ \frac{x^2}{n^7} $