Номер 35, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 35, страница 37.

Условие.

35. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{a+3}{a-3} + \frac{a-3}{a+3}\right) : \frac{3a^2 + 27}{9 - a^2}$;

2) $\left(5x - \frac{10x}{x+1}\right) : \frac{15x - 15}{4x + 4}$;

3) $\frac{3a}{a-4} - \frac{a+2}{5a-20} \cdot \frac{240}{a^2+2a}$;

4) $\left(\frac{8b}{b+7} - \frac{15b}{b^2+14b+49}\right) : \left(\frac{8b+41}{b^2-49} + \frac{7b-49}{b+7}\right)$;

5) $\left(\frac{a-b}{a^2+ab} - \frac{a}{ab+b^2}\right) : \left(\frac{b^2}{a^3-ab^2} + \frac{1}{a+b}\right)$;

6) $\frac{x^2+5x}{(x-5)^2} : \left(\frac{5}{x+5} + \frac{x^2+25}{x^2-25} - \frac{5}{5-x}\right)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Выполним действия по порядку. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-3)(a+3) = a^2-9$:
$\left(\frac{a+3}{a-3} + \frac{a-3}{a+3}\right) = \frac{(a+3)(a+3) + (a-3)(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{(a+3)^2 + (a-3)^2}{a^2-9}$
Раскроем скобки в числителе по формулам квадрата суммы и квадрата разности:
$\frac{(a^2+6a+9) + (a^2-6a+9)}{a^2-9} = \frac{2a^2+18}{a^2-9} = \frac{2(a^2+9)}{a^2-9}$
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь. Упростим делитель:
$\frac{3a^2+27}{9-a^2} = \frac{3(a^2+9)}{-(a^2-9)}$
Произведем деление:
$\frac{2(a^2+9)}{a^2-9} : \frac{3(a^2+9)}{-(a^2-9)} = \frac{2(a^2+9)}{a^2-9} \cdot \frac{-(a^2-9)}{3(a^2+9)}$
Сократим общие множители $(a^2+9)$ и $(a^2-9)$:
$\frac{2}{1} \cdot \frac{-1}{3} = -\frac{2}{3}$
Ответ: $-\frac{2}{3}$

2) Сначала выполним действие в скобках. Приведем к общему знаменателю $x+1$:
$5x - \frac{10x}{x+1} = \frac{5x(x+1)}{x+1} - \frac{10x}{x+1} = \frac{5x^2+5x-10x}{x+1} = \frac{5x^2-5x}{x+1} = \frac{5x(x-1)}{x+1}$
Теперь упростим делитель, вынеся общие множители за скобки:
$\frac{15x-15}{4x+4} = \frac{15(x-1)}{4(x+1)}$
Выполним деление:
$\frac{5x(x-1)}{x+1} : \frac{15(x-1)}{4(x+1)} = \frac{5x(x-1)}{x+1} \cdot \frac{4(x+1)}{15(x-1)}$
Сократим общие множители $(x-1)$, $(x+1)$ и числовые коэффициенты:
$\frac{5x}{1} \cdot \frac{4}{15} = \frac{20x}{15} = \frac{4x}{3}$
Ответ: $\frac{4x}{3}$

3) Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Для этого разложим знаменатели на множители:
$5a-20 = 5(a-4)$
$a^2+2a = a(a+2)$
$\frac{a+2}{5a-20} \cdot \frac{240}{a^2+2a} = \frac{a+2}{5(a-4)} \cdot \frac{240}{a(a+2)}$
Сократим общие множители $(a+2)$ и числовые коэффициенты:
$\frac{1}{5(a-4)} \cdot \frac{240}{a} = \frac{48}{a(a-4)}$
Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю $a(a-4)$:
$\frac{3a}{a-4} - \frac{48}{a(a-4)} = \frac{3a \cdot a}{a(a-4)} - \frac{48}{a(a-4)} = \frac{3a^2-48}{a(a-4)}$
Вынесем общий множитель в числителе и применим формулу разности квадратов:
$\frac{3(a^2-16)}{a(a-4)} = \frac{3(a-4)(a+4)}{a(a-4)}$
Сократим общий множитель $(a-4)$:
$\frac{3(a+4)}{a}$
Ответ: $\frac{3(a+4)}{a}$

4) Выполним действие в первых скобках. Разложим знаменатель второй дроби на множители (квадрат суммы): $b^2+14b+49 = (b+7)^2$.
$\frac{8b}{b+7} - \frac{15b}{(b+7)^2} = \frac{8b(b+7)}{(b+7)^2} - \frac{15b}{(b+7)^2} = \frac{8b^2+56b-15b}{(b+7)^2} = \frac{8b^2+41b}{(b+7)^2} = \frac{b(8b+41)}{(b+7)^2}$
Теперь выполним деление. Разложим знаменатель делителя на множители (разность квадратов): $b^2-49=(b-7)(b+7)$.
$\frac{b(8b+41)}{(b+7)^2} : \frac{8b+41}{b^2-49} = \frac{b(8b+41)}{(b+7)^2} \cdot \frac{(b-7)(b+7)}{8b+41}$
Сократим общие множители $(8b+41)$ и $(b+7)$:
$\frac{b(b-7)}{b+7}$
Наконец, выполним сложение. Упростим числитель второй дроби: $7b-49 = 7(b-7)$.
$\frac{b(b-7)}{b+7} + \frac{7b-49}{b+7} = \frac{b(b-7)}{b+7} + \frac{7(b-7)}{b+7} = \frac{b(b-7)+7(b-7)}{b+7}$
Вынесем общий множитель $(b-7)$ в числителе:
$\frac{(b-7)(b+7)}{b+7}$
Сократим общий множитель $(b+7)$:
$b-7$
Ответ: $b-7$

5) Упростим выражение в первых скобках. Разложим знаменатели на множители: $a^2+ab=a(a+b)$, $ab+b^2=b(a+b)$.
$\frac{a-b}{a(a+b)} - \frac{a}{b(a+b)} = \frac{b(a-b) - a \cdot a}{ab(a+b)} = \frac{ab-b^2-a^2}{ab(a+b)} = \frac{-(a^2-ab+b^2)}{ab(a+b)}$
Упростим выражение во вторых скобках. Разложим знаменатель первой дроби: $a^3-ab^2 = a(a^2-b^2)=a(a-b)(a+b)$.
$\frac{b^2}{a(a-b)(a+b)} + \frac{1}{a+b} = \frac{b^2 + 1 \cdot a(a-b)}{a(a-b)(a+b)} = \frac{b^2+a^2-ab}{a(a-b)(a+b)} = \frac{a^2-ab+b^2}{a(a-b)(a+b)}$
Выполним деление:
$\frac{-(a^2-ab+b^2)}{ab(a+b)} : \frac{a^2-ab+b^2}{a(a-b)(a+b)} = \frac{-(a^2-ab+b^2)}{ab(a+b)} \cdot \frac{a(a-b)(a+b)}{a^2-ab+b^2}$
Сократим общие множители $(a^2-ab+b^2)$, $a$ и $(a+b)$:
$\frac{-1}{b} \cdot \frac{a-b}{1} = \frac{-(a-b)}{b} = \frac{b-a}{b}$
Ответ: $\frac{b-a}{b}$

6) Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $5-x = -(x-5)$ и $x^2-25=(x-5)(x+5)$.
$\frac{5}{x+5} + \frac{x^2+25}{x^2-25} - \frac{5}{5-x} = \frac{5}{x+5} + \frac{x^2+25}{(x-5)(x+5)} + \frac{5}{x-5}$
Приведем к общему знаменателю $(x-5)(x+5)$:
$\frac{5(x-5)}{(x-5)(x+5)} + \frac{x^2+25}{(x-5)(x+5)} + \frac{5(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{5(x-5) + x^2+25 + 5(x+5)}{(x-5)(x+5)}$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{5x-25+x^2+25+5x+25}{(x-5)(x+5)} = \frac{x^2+10x+25}{(x-5)(x+5)}$
Числитель является полным квадратом $(x+5)^2$:
$\frac{(x+5)^2}{(x-5)(x+5)} = \frac{x+5}{x-5}$
Теперь выполним деление. Разложим числитель делимого на множители: $x^2+5x=x(x+5)$.
$\frac{x^2+5x}{(x-5)^2} : \frac{x+5}{x-5} = \frac{x(x+5)}{(x-5)^2} \cdot \frac{x-5}{x+5}$
Сократим общие множители $(x+5)$ и $(x-5)$:
$\frac{x}{x-5}$
Ответ: $\frac{x}{x-5}$