Номер 36, страница 37 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 36, страница 37.

Условие.

36. Докажите тождество:

1) $\frac{a+4}{a^2-6a+9} : \frac{a^2-16}{2a-6} - \frac{2}{a-4} = \frac{2}{3-a};$

2) $\frac{8m^3}{(m^2-64)^2} : \left( \frac{1}{(m+8)^2} + \frac{2}{m^2-64} + \frac{1}{(m-8)^2} \right) = 2m.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть до вида правой части. Будем выполнять действия по порядку: сначала деление, затем вычитание.

Сначала упростим выражения в числителях и знаменателях дробей:

• $a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2$ (формула квадрата разности)
• $a^2 - 16 = (a-4)(a+4)$ (формула разности квадратов)
• $2a - 6 = 2(a-3)$ (вынесение общего множителя за скобки)

Подставим эти выражения в левую часть и выполним деление:

$\frac{a+4}{a^2-6a+9} : \frac{a^2-16}{2a-6} = \frac{a+4}{(a-3)^2} : \frac{(a-4)(a+4)}{2(a-3)}$

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{a+4}{(a-3)^2} \cdot \frac{2(a-3)}{(a-4)(a+4)}$

Сократим общие множители $(a+4)$ и $(a-3)$:

$\frac{\cancel{a+4}}{(a-3)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{2(\cancel{a-3})}{(a-4)(\cancel{a+4})} = \frac{2}{(a-3)(a-4)}$

Теперь выполним вычитание, подставив полученный результат в исходное выражение:

$\frac{2}{(a-3)(a-4)} - \frac{2}{a-4}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-3)(a-4)$:

$\frac{2}{(a-3)(a-4)} - \frac{2(a-3)}{(a-3)(a-4)} = \frac{2 - 2(a-3)}{(a-3)(a-4)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2 - 2a + 6}{(a-3)(a-4)} = \frac{8 - 2a}{(a-3)(a-4)}$

Вынесем в числителе общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(4-a)}{(a-3)(a-4)}$

Заметим, что $4-a = -(a-4)$. Подставим это в числитель и сократим дробь:

$\frac{-2(a-4)}{(a-3)(a-4)} = \frac{-2}{a-3}$

Чтобы получить вид правой части, внесем минус в знаменатель:

$\frac{2}{-(a-3)} = \frac{2}{3-a}$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ:

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках.

$\frac{1}{(m+8)^2} + \frac{2}{m^2-64} + \frac{1}{(m-8)^2}$

Разложим знаменатель средней дроби на множители по формуле разности квадратов: $m^2 - 64 = (m-8)(m+8)$.

$\frac{1}{(m+8)^2} + \frac{2}{(m-8)(m+8)} + \frac{1}{(m-8)^2}$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(m-8)^2(m+8)^2$.

$\frac{1 \cdot (m-8)^2}{(m+8)^2(m-8)^2} + \frac{2 \cdot (m-8)(m+8)}{(m-8)^2(m+8)^2} + \frac{1 \cdot (m+8)^2}{(m-8)^2(m+8)^2}$

Сложим числители:

$\frac{(m-8)^2 + 2(m-8)(m+8) + (m+8)^2}{(m-8)^2(m+8)^2}$

Числитель представляет собой полный квадрат суммы по формуле $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, где $x = (m-8)$ и $y = (m+8)$.

Свернем числитель:

$((m-8) + (m+8))^2 = (m - 8 + m + 8)^2 = (2m)^2 = 4m^2$

Знаменатель можно свернуть по формуле $(ab)^2 = a^2b^2$:

$(m-8)^2(m+8)^2 = ((m-8)(m+8))^2 = (m^2 - 64)^2$

Таким образом, выражение в скобках равно:

$\frac{4m^2}{(m^2-64)^2}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение и выполним деление:

$\frac{8m^3}{(m^2-64)^2} : \frac{4m^2}{(m^2-64)^2} = \frac{8m^3}{(m^2-64)^2} \cdot \frac{(m^2-64)^2}{4m^2}$

Сократим одинаковые множители $(m^2-64)^2$ в числителе и знаменателе:

$\frac{8m^3}{4m^2}$

Сократим числовой коэффициент и степени $m$:

$\frac{8}{4} \cdot \frac{m^3}{m^2} = 2m$

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: