Номер 42, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 42, страница 38.

Условие.

42. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $\frac{x-1}{x+a} = 0;$

2) $\frac{x-a}{x+4} = 0;$

3) $\frac{(a-1)(x+a)}{x-3} = 0;$

4) $\frac{x-a}{(x-5)(x+6)} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1)

Дано уравнение $\frac{x-1}{x+a} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x-1 = 0 \\ x+a \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы следует, что $x=1$.

Подставим это значение во второе неравенство, чтобы найти ограничение на параметр $a$:

$1+a \neq 0$, что означает $a \neq -1$.

Рассмотрим два случая:

• Если $a \neq -1$, то найденный корень $x=1$ не обращает знаменатель в ноль, следовательно, является решением уравнения.
• Если $a = -1$, то корень числителя $x=1$ совпадает с корнем знаменателя. В этом случае уравнение принимает вид $\frac{x-1}{x-1}=0$, что не имеет решений, так как при $x=1$ выражение не определено, а при $x \neq 1$ оно равно 1.

Ответ: если $a = -1$, то корней нет; если $a \neq -1$, то $x=1$.

---

2)

Дано уравнение $\frac{x-a}{x+4} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x-a = 0 \\ x+4 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x=a$.

Из второго неравенства следует, что $x \neq -4$.

Корень $x=a$ будет решением уравнения, только если он не совпадает с недопустимым значением $x=-4$. Это означает, что $a \neq -4$.

Рассмотрим два случая:

• Если $a = -4$, то корень числителя $x=a=-4$ обращает знаменатель в ноль. Следовательно, решений нет.
• Если $a \neq -4$, то корень $x=a$ является решением уравнения.

Ответ: если $a = -4$, то корней нет; если $a \neq -4$, то $x=a$.

---

3)

Дано уравнение $\frac{(a-1)(x+a)}{x-3} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} (a-1)(x+a) = 0 \\ x-3 \neq 0 \end{cases}$

Проанализируем уравнение числителя $(a-1)(x+a) = 0$. Оно выполняется, если $a-1=0$ или $x+a=0$.

Рассмотрим все возможные значения параметра $a$:

• Случай 1: $a=1$.
  Уравнение числителя принимает вид $(1-1)(x+1) = 0$, то есть $0=0$. Это верно для любого $x$. Исходное уравнение становится $\frac{0}{x-3}=0$. Оно имеет решение при любом $x$, удовлетворяющем условию $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.
• Случай 2: $a \neq 1$.
  В этом случае, чтобы числитель был равен нулю, должно выполняться $x+a=0$, откуда $x=-a$. Теперь проверим условие $x \neq 3$. Подставляем наш корень: $-a \neq 3$, то есть $a \neq -3$.
  • Если $a \neq 1$ и $a \neq -3$, то корень $x=-a$ является единственным решением.
  • Если $a=-3$ (что удовлетворяет $a \neq 1$), то корень числителя $x=-(-3)=3$. Это значение обращает знаменатель в ноль, поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: если $a=1$, то $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$; если $a=-3$, то корней нет; если $a \neq 1$ и $a \neq -3$, то $x=-a$.

---

4)

Дано уравнение $\frac{x-a}{(x-5)(x+6)} = 0$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x-a = 0 \\ (x-5)(x+6) \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $x=a$.

Из второго неравенства следует, что $x \neq 5$ и $x \neq -6$.

Корень $x=a$ будет решением, если он не совпадает с недопустимыми значениями. То есть, если $a \neq 5$ и $a \neq -6$.

Рассмотрим случаи:

• Если $a=5$ или $a=-6$, то корень числителя $x=a$ совпадает с одним из корней знаменателя. В этих случаях решений нет.
• Если $a \neq 5$ и $a \neq -6$, то корень $x=a$ является решением уравнения.

Ответ: если $a=5$ или $a=-6$, то корней нет; если $a \neq 5$ и $a \neq -6$, то $x=a$.