Номер 40, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 40, страница 38.

Условие.

40. Составьте уравнение, равносильное данному:

1) $4x-5=11;$

2) $x^2=36;$

3) $x+2=x-8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Равносильные уравнения — это уравнения, имеющие одинаковые множества решений (корней). Чтобы составить уравнение, равносильное данному, можно выполнить равносильное преобразование, которое не изменяет множество решений. Например, можно перенести слагаемое из одной части уравнения в другую, изменив его знак, или умножить обе части на одно и то же ненулевое число.

Сначала решим исходное уравнение $4x - 5 = 11$, чтобы найти его корень:
$4x = 11 + 5$
$4x = 16$
$x = \frac{16}{4}$
$x = 4$
Корень уравнения — $x=4$.
Теперь составим равносильное уравнение. Самый простой способ — выполнить преобразование исходного уравнения. Например, перенесем все его члены в левую часть:
$4x - 5 - 11 = 0$
$4x - 16 = 0$
Это уравнение также имеет единственный корень $x=4$, следовательно, оно равносильно исходному.
Ответ: $4x - 16 = 0$.

2) Найдем корни уравнения $x^2 = 36$.
Это уравнение имеет два корня, так как существуют два числа, квадрат которых равен 36:
$x_1 = \sqrt{36} = 6$
$x_2 = -\sqrt{36} = -6$
Множество решений уравнения: $\{-6, 6\}$.
Равносильное уравнение должно иметь то же самое множество решений. Получим его, перенеся число 36 в левую часть уравнения:
$x^2 - 36 = 0$
Это уравнение также имеет корни 6 и -6, поэтому оно равносильно исходному. Другим примером равносильного уравнения является $|x|=6$.
Ответ: $x^2 - 36 = 0$.

3) Решим уравнение $x + 2 = x - 8$.
Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а свободные члены — в правую:
$x - x = -8 - 2$
$0 \cdot x = -10$
$0 = -10$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений (его множество решений пусто).
Следовательно, любое другое уравнение, которое также не имеет решений, будет ему равносильно. Такое уравнение можно получить, выполнив равносильное преобразование над исходным. Например, умножим обе части исходного уравнения на 3:
$3(x+2) = 3(x-8)$
$3x+6 = 3x-24$
Это уравнение также не имеет корней (приводит к неверному равенству $6 = -24$), значит, оно равносильно исходному.
Ответ: $3x+6 = 3x-24$.