Номер 39, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 39, страница 38.

Условие.

39. Равносильны ли уравнения:

1) $x + 8 = 2$ и $-4x = 24;$

2) $x - 5 = 0$ и $(x - 5)(x + 5) = 0;$

3) $x^4 = -1$ и $\frac{5}{x} = 0;$

4) $x + 4 = 4 + x$ и $\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} = 1?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Решим первое уравнение: $x + 8 = 2$. Перенесем 8 в правую часть: $x = 2 - 8$, откуда $x = -6$. Множество решений первого уравнения: $\{-6\}$.
Решим второе уравнение: $-4x = 24$. Разделим обе части на -4: $x = \frac{24}{-4}$, откуда $x = -6$. Множество решений второго уравнения: $\{-6\}$.
Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают, они являются равносильными. Ответ: да.

2) Решим первое уравнение: $x - 5 = 0$. Отсюда $x = 5$. Множество решений: $\{5\}$.
Решим второе уравнение: $(x - 5)(x + 5) = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x - 5 = 0$ или $x + 5 = 0$. Из первого получаем $x = 5$, из второго $x = -5$. Множество решений второго уравнения: $\{-5, 5\}$.
Множества решений уравнений не совпадают ($\{5\} \neq \{-5, 5\}$), следовательно, уравнения не являются равносильными. Ответ: нет.

3) Рассмотрим первое уравнение: $x^4 = -1$. Так как любое действительное число, возведенное в четвертую степень, является неотрицательным ($x^4 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$), это уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел. Множество его решений — пустое множество, $\emptyset$.
Рассмотрим второе уравнение: $\frac{5}{x} = 0$. Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. В данном случае числитель равен 5, что не равно нулю. Следовательно, это уравнение также не имеет решений. Множество его решений — пустое множество, $\emptyset$.
Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (оба пусты), уравнения равносильны. Ответ: да.

4) Рассмотрим первое уравнение: $x + 4 = 4 + x$. Это верное числовое равенство при любом значении $x$, так как оно основано на переместительном свойстве сложения. Множеством его решений является множество всех действительных чисел, $\mathbb{R}$.
Рассмотрим второе уравнение: $\frac{x^2 + 4}{x^2 + 4} = 1$. Область допустимых значений этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю. Выражение $x^2 + 4$ всегда положительно для любого действительного $x$ (поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 4 \ge 4$). Так как знаменатель никогда не равен нулю, а числитель всегда равен знаменателю, то данное равенство верно для любого действительного числа $x$. Множество решений этого уравнения также является множеством всех действительных чисел, $\mathbb{R}$.
Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают, они равносильны. Ответ: да.