Номер 37, страница 38 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 37, страница 38.

Условие.

37. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения

$\left(\frac{1}{a+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3}{a^2-a+1}\right) \cdot \left(a - \frac{2a-1}{a+1}\right)$

не зависит от значения $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной a, необходимо упростить данное выражение.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей в выражении не должны равняться нулю: $a+1 \neq 0$ и $a^3+1 \neq 0$. Из первого условия получаем $a \neq -1$. Второе условие $a^3+1 \neq 0$ можно разложить по формуле суммы кубов: $(a+1)(a^2-a+1) \neq 0$. Это выполняется, если $a+1 \neq 0$ (что мы уже учли) и $a^2-a+1 \neq 0$. Для квадратного трехчлена $a^2-a+1$ найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен (равен 1), выражение $a^2-a+1$ всегда больше нуля. Таким образом, единственное ограничение на переменную $a$ (ОДЗ) — это $a \neq -1$.

Теперь упростим выражение, выполняя действия по порядку.

1. Преобразуем выражение в первой скобке: $ \frac{1}{a+1} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3}{a^2-a+1} $.

Общим знаменателем является $a^3+1$, так как $a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$ \frac{1 \cdot (a^2-a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)} - \frac{3}{a^3+1} + \frac{3 \cdot (a+1)}{(a^2-a+1)(a+1)} = \frac{(a^2-a+1) - 3 + 3(a+1)}{a^3+1} $.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{a^2-a+1-3+3a+3}{a^3+1} = \frac{a^2+2a+1}{a^3+1} $.

Числитель $a^2+2a+1$ является полным квадратом $(a+1)^2$. Подставим это в дробь и сократим ее:

$ \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a^2-a+1)} = \frac{a+1}{a^2-a+1} $.

2. Преобразуем выражение во второй скобке: $ a - \frac{2a-1}{a+1} $.

Приведем к общему знаменателю $a+1$:

$ \frac{a(a+1)}{a+1} - \frac{2a-1}{a+1} = \frac{a(a+1) - (2a-1)}{a+1} = \frac{a^2+a-2a+1}{a+1} = \frac{a^2-a+1}{a+1} $.

3. Перемножим результаты, полученные в первых двух действиях:

$ \left( \frac{a+1}{a^2-a+1} \right) \cdot \left( \frac{a^2-a+1}{a+1} \right) = 1 $.

Результат упрощения равен 1. Это число не зависит от значения переменной a, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.