Номер 31, страница 36 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Выполните деление:

1) $\frac{32a^5}{15y^8} : \frac{4a^3}{45y^4};$

2) $\frac{16x^2y^8}{15m^4n^8} : \left(-\frac{8x^3y^5}{35m^6n^7}\right);$

3) $54p^{10}n^{17} : \frac{27p^{12}n^{14}}{22a^6};$

4) $\frac{72a^5b^4}{25y^8} : (24a^7b^9);$

5) $\frac{7x^4y^{13}}{18m^2n^5} : \frac{35x^5y^8}{33m^4n^8} : \frac{11y^2n^9}{9xm^4};$

6) $\left(-\frac{3m^2n^3}{4b^4}\right)^3 : \left(-\frac{3m^3n}{4b^6}\right)^4.$

1) Чтобы разделить алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).
$\frac{32a^5}{15y^8} : \frac{4a^3}{45y^4} = \frac{32a^5}{15y^8} \cdot \frac{45y^4}{4a^3} = \frac{32a^5 \cdot 45y^4}{15y^8 \cdot 4a^3}$
Теперь сократим числовые коэффициенты и переменные.
Числовые коэффициенты: $\frac{32 \cdot 45}{15 \cdot 4} = \frac{(8 \cdot 4) \cdot (3 \cdot 15)}{15 \cdot 4} = 8 \cdot 3 = 24$.
Переменные: $\frac{a^5}{a^3} = a^{5-3} = a^2$ и $\frac{y^4}{y^8} = y^{4-8} = y^{-4} = \frac{1}{y^4}$.
Собираем все вместе:
$24 \cdot \frac{a^2}{y^4} = \frac{24a^2}{y^4}$.
Ответ: $\frac{24a^2}{y^4}$.

2) Выполняем деление, умножая на обратную дробь. Обратите внимание на знак минус.
$\frac{16x^2y^8}{15m^4n^8} : \left(-\frac{8x^3y^5}{35m^6n^7}\right) = \frac{16x^2y^8}{15m^4n^8} \cdot \left(-\frac{35m^6n^7}{8x^3y^5}\right) = -\frac{16x^2y^8 \cdot 35m^6n^7}{15m^4n^8 \cdot 8x^3y^5}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{16 \cdot 35}{15 \cdot 8} = \frac{(2 \cdot 8) \cdot (7 \cdot 5)}{(3 \cdot 5) \cdot 8} = \frac{2 \cdot 7}{3} = \frac{14}{3}$.
Сокращаем переменные: $\frac{x^2}{x^3} = \frac{1}{x}$, $\frac{y^8}{y^5} = y^3$, $\frac{m^6}{m^4} = m^2$, $\frac{n^7}{n^8} = \frac{1}{n}$.
Собираем все вместе, не забывая про знак минус:
$-\frac{14}{3} \cdot \frac{m^2y^3}{xn} = -\frac{14m^2y^3}{3xn}$.
Ответ: $-\frac{14m^2y^3}{3xn}$.

3) Представим одночлен $54p^{10}n^{17}$ в виде дроби $\frac{54p^{10}n^{17}}{1}$ и выполним деление.
$54p^{10}n^{17} : \frac{27p^{12}n^{14}}{22a^6} = \frac{54p^{10}n^{17}}{1} \cdot \frac{22a^6}{27p^{12}n^{14}} = \frac{54p^{10}n^{17} \cdot 22a^6}{27p^{12}n^{14}}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{54 \cdot 22}{27} = 2 \cdot 22 = 44$.
Сокращаем переменные: $\frac{p^{10}}{p^{12}} = \frac{1}{p^2}$, $\frac{n^{17}}{n^{14}} = n^3$. Переменная $a^6$ остается в числителе.
Собираем все вместе:
$44 \cdot \frac{n^3 a^6}{p^2} = \frac{44a^6n^3}{p^2}$.
Ответ: $\frac{44a^6n^3}{p^2}$.

4) Представим одночлен $24a^7b^9$ в виде дроби $\frac{24a^7b^9}{1}$ и выполним деление.
$\frac{72a^5b^4}{25y^8} : (24a^7b^9) = \frac{72a^5b^4}{25y^8} \cdot \frac{1}{24a^7b^9} = \frac{72a^5b^4}{25y^8 \cdot 24a^7b^9}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{72}{24} = 3$. В знаменателе остается 25.
Сокращаем переменные: $\frac{a^5}{a^7} = \frac{1}{a^2}$, $\frac{b^4}{b^9} = \frac{1}{b^5}$. Переменная $y^8$ остается в знаменателе.
Собираем все вместе:
$\frac{3}{25} \cdot \frac{1}{a^2b^5y^8} = \frac{3}{25a^2b^5y^8}$.
Ответ: $\frac{3}{25a^2b^5y^8}$.

5) Выполняем деление последовательно. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь.
$\frac{7x^4y^{13}}{18m^2n^5} : \frac{35x^5y^8}{33m^4n^8} : \frac{11y^2n^9}{9xm^4} = \frac{7x^4y^{13}}{18m^2n^5} \cdot \frac{33m^4n^8}{35x^5y^8} \cdot \frac{9xm^4}{11y^2n^9} = \frac{7 \cdot 33 \cdot 9 \cdot x^4y^{13}m^4n^8xm^4}{18 \cdot 35 \cdot 11 \cdot m^2n^5x^5y^8y^2n^9}$
Группируем и сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{7 \cdot 33 \cdot 9}{18 \cdot 35 \cdot 11} = \frac{7 \cdot (3 \cdot 11) \cdot 9}{(2 \cdot 9) \cdot (5 \cdot 7) \cdot 11} = \frac{3}{2 \cdot 5} = \frac{3}{10}$.
Группируем и сокращаем переменные: $\frac{x^{4+1}y^{13}m^{4+4}n^8}{x^5y^{8+2}m^2n^{5+9}} = \frac{x^5y^{13}m^8n^8}{x^5y^{10}m^2n^{14}} = x^{5-5}y^{13-10}m^{8-2}n^{8-14} = y^3m^6n^{-6} = \frac{m^6y^3}{n^6}$.
Собираем все вместе:
$\frac{3}{10} \cdot \frac{m^6y^3}{n^6} = \frac{3m^6y^3}{10n^6}$.
Ответ: $\frac{3m^6y^3}{10n^6}$.

6) Сначала возведем каждую дробь в соответствующую степень.
$\left(-\frac{3m^2n^3}{4b^4}\right)^3 = (-1)^3 \frac{3^3(m^2)^3(n^3)^3}{4^3(b^4)^3} = -\frac{27m^6n^9}{64b^{12}}$.
$\left(-\frac{3m^3n}{4b^6}\right)^4 = (-1)^4 \frac{3^4(m^3)^4n^4}{4^4(b^6)^4} = \frac{81m^{12}n^4}{256b^{24}}$.
Теперь выполним деление. Делим отрицательное число на положительное, результат будет отрицательным.
$-\frac{27m^6n^9}{64b^{12}} : \frac{81m^{12}n^4}{256b^{24}} = -\frac{27m^6n^9}{64b^{12}} \cdot \frac{256b^{24}}{81m^{12}n^4} = -\frac{27 \cdot 256 \cdot m^6n^9b^{24}}{64 \cdot 81 \cdot b^{12}m^{12}n^4}$
Сокращаем числовые коэффициенты: $\frac{27 \cdot 256}{64 \cdot 81} = \frac{27 \cdot (4 \cdot 64)}{64 \cdot (3 \cdot 27)} = \frac{4}{3}$.
Сокращаем переменные: $\frac{m^6}{m^{12}} = \frac{1}{m^6}$, $\frac{n^9}{n^4} = n^5$, $\frac{b^{24}}{b^{12}} = b^{12}$.
Собираем все вместе, не забывая про знак минус:
$-\frac{4}{3} \cdot \frac{n^5b^{12}}{m^6} = -\frac{4b^{12}n^5}{3m^6}$.
Ответ: $-\frac{4b^{12}n^5}{3m^6}$.