Номер 26, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 26, страница 35.

Условие.

26. Представьте в виде дроби выражение:

1) $x - \frac{1}{x};$

2) $\frac{4}{y^3} + \frac{5}{y} - 7;$

3) $6 - \frac{3a + 6c}{c};$

4) $\frac{5b + 1}{b + 2} - 4;$

5) $\frac{m^2 - n^2}{m + 3n} + m - 3n;$

6) $x - \frac{9}{x - 3} - 3.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы представить выражение $x - \frac{1}{x}$ в виде дроби, необходимо привести его слагаемые к общему знаменателю.

Представим $x$ в виде дроби со знаменателем 1: $x = \frac{x}{1}$.

Общим знаменателем для дробей $\frac{x}{1}$ и $\frac{1}{x}$ является $x$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $x$:

$\frac{x}{1} = \frac{x \cdot x}{1 \cdot x} = \frac{x^2}{x}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$x - \frac{1}{x} = \frac{x^2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x}$

Ответ: $\frac{x^2 - 1}{x}$

2) Для представления выражения $\frac{4}{y^3} + \frac{5}{y} - 7$ в виде дроби, найдем общий знаменатель для всех его членов.

Члены выражения: $\frac{4}{y^3}$, $\frac{5}{y}$ и $-7$ (которое можно записать как $-\frac{7}{1}$).

Наименьший общий знаменатель для $y^3$, $y$ и $1$ - это $y^3$. Приведем каждую дробь к этому знаменателю:

• Первая дробь $\frac{4}{y^3}$ уже имеет нужный знаменатель.
• Вторую дробь $\frac{5}{y}$ домножим на $y^2$: $\frac{5 \cdot y^2}{y \cdot y^2} = \frac{5y^2}{y^3}$.
• Третий член $-7$ домножим на $y^3$: $-\frac{7 \cdot y^3}{1 \cdot y^3} = -\frac{7y^3}{y^3}$.

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{4}{y^3} + \frac{5y^2}{y^3} - \frac{7y^3}{y^3} = \frac{4 + 5y^2 - 7y^3}{y^3}$

Ответ: $\frac{4 + 5y^2 - 7y^3}{y^3}$

3) Представим выражение $6 - \frac{3a + 6c}{c}$ в виде единой дроби. Общий знаменатель - $c$.

Представим число 6 как дробь со знаменателем $c$:

$6 = \frac{6c}{c}$

Теперь выполним вычитание. Важно обратить внимание на знак минус перед дробью, он относится ко всему числителю:

$\frac{6c}{c} - \frac{3a + 6c}{c} = \frac{6c - (3a + 6c)}{c}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{6c - 3a - 6c}{c}$

Упростим числитель, сократив $6c$ и $-6c$:

$\frac{-3a}{c} = -\frac{3a}{c}$

Ответ: $-\frac{3a}{c}$

4) Чтобы представить выражение $\frac{5b + 1}{b + 2} - 4$ в виде дроби, приведем число 4 к знаменателю $b+2$.

$4 = \frac{4(b+2)}{b+2}$

Подставим это в исходное выражение и выполним вычитание:

$\frac{5b + 1}{b + 2} - \frac{4(b + 2)}{b + 2} = \frac{(5b + 1) - 4(b + 2)}{b + 2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{5b + 1 - 4b - 8}{b + 2} = \frac{(5b - 4b) + (1 - 8)}{b + 2} = \frac{b - 7}{b + 2}$

Ответ: $\frac{b - 7}{b + 2}$

5) Представим выражение $\frac{m^2 - n^2}{m + 3n} + m - 3n$ в виде дроби. Общий знаменатель $m+3n$.

Приведем выражение $m - 3n$ к знаменателю $m+3n$:

$m - 3n = \frac{(m - 3n)(m + 3n)}{m + 3n}$

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для числителя:

$(m - 3n)(m + 3n) = m^2 - (3n)^2 = m^2 - 9n^2$

Теперь сложим дроби:

$\frac{m^2 - n^2}{m + 3n} + \frac{m^2 - 9n^2}{m + 3n} = \frac{(m^2 - n^2) + (m^2 - 9n^2)}{m + 3n}$

Упростим числитель:

$\frac{m^2 + m^2 - n^2 - 9n^2}{m + 3n} = \frac{2m^2 - 10n^2}{m + 3n}$

Ответ: $\frac{2m^2 - 10n^2}{m + 3n}$

6) Представим выражение $x - \frac{9}{x - 3} - 3$ в виде дроби.

Сначала сгруппируем целые части: $(x - 3) - \frac{9}{x - 3}$.

Общий знаменатель $x-3$. Приведем первое слагаемое $(x-3)$ к этому знаменателю:

$x - 3 = \frac{(x - 3)(x - 3)}{x - 3} = \frac{(x - 3)^2}{x - 3}$

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{(x - 3)^2}{x - 3} - \frac{9}{x - 3} = \frac{(x - 3)^2 - 9}{x - 3}$

Числитель представляет собой разность квадратов $a^2-b^2$, где $a = x-3$ и $b = 3$. Разложим его на множители:

$(x - 3)^2 - 9 = ((x - 3) - 3)((x - 3) + 3) = (x - 6)(x) = x^2 - 6x$

В качестве альтернативы можно было раскрыть квадрат разности: $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$, и затем вычесть 9: $(x^2 - 6x + 9) - 9 = x^2 - 6x$.

Таким образом, итоговая дробь имеет вид:

$\frac{x^2 - 6x}{x - 3}$

Ответ: $\frac{x^2 - 6x}{x - 3}$