Номер 23, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 23, страница 35.

Условие.

23. Найдите все натуральные значения n, при которых является целым числом значение выражения:

1) $\frac{7n^2 + 3n - 15}{n}$;

2) $\frac{2n^3 - 7n^2 - 48}{n^2}$;

3) $\frac{12n + 4}{4n - 3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Чтобы значение выражения $\frac{7n^2 + 3n - 15}{n}$ было целым числом, необходимо преобразовать его. Разделим числитель на знаменатель почленно:
$\frac{7n^2 + 3n - 15}{n} = \frac{7n^2}{n} + \frac{3n}{n} - \frac{15}{n} = 7n + 3 - \frac{15}{n}$.
Поскольку $n$ — натуральное число, $7n + 3$ всегда является целым числом. Следовательно, для того чтобы всё выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{15}{n}$ была целым числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является делителем числа 15.
Натуральные делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
Таким образом, искомые значения $n$ — это 1, 3, 5, 15.
Ответ: 1, 3, 5, 15.

2) Рассмотрим выражение $\frac{2n^3 - 7n^2 - 48}{n^2}$. Преобразуем его, разделив числитель на знаменатель почленно:
$\frac{2n^3 - 7n^2 - 48}{n^2} = \frac{2n^3}{n^2} - \frac{7n^2}{n^2} - \frac{48}{n^2} = 2n - 7 - \frac{48}{n^2}$.
Так как $n$ — натуральное число, выражение $2n - 7$ всегда является целым. Чтобы всё выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{48}{n^2}$ была целым числом. Это означает, что $n^2$ должно быть делителем числа 48.
Найдем все натуральные делители числа 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Теперь проверим, какие из этих делителей являются квадратами натуральных чисел:
$n^2 = 1 \implies n = 1$
$n^2 = 4 \implies n = 2$
$n^2 = 16 \implies n = 4$
Другие делители числа 48 не являются точными квадратами натуральных чисел.
Следовательно, искомые значения $n$ — это 1, 2, 4.
Ответ: 1, 2, 4.

3) Чтобы значение выражения $\frac{12n + 4}{4n - 3}$ было целым числом, выделим целую часть дроби. Для этого представим числитель через знаменатель:
$12n + 4 = 3(4n) + 4 = 3(4n - 3 + 3) + 4 = 3(4n - 3) + 9 + 4 = 3(4n - 3) + 13$.
Теперь подставим это в исходную дробь:
$\frac{12n + 4}{4n - 3} = \frac{3(4n - 3) + 13}{4n - 3} = \frac{3(4n - 3)}{4n - 3} + \frac{13}{4n - 3} = 3 + \frac{13}{4n - 3}$.
Выражение $3 + \frac{13}{4n - 3}$ будет целым, если дробь $\frac{13}{4n - 3}$ является целым числом. Это означает, что знаменатель $4n - 3$ должен быть делителем числа 13.
Делители простого числа 13: 1, -1, 13, -13.
Рассмотрим все возможные случаи для $4n - 3$, где $n$ - натуральное число:
1) $4n - 3 = 1 \implies 4n = 4 \implies n = 1$. Это натуральное число.
2) $4n - 3 = -1 \implies 4n = 2 \implies n = 0.5$. Это не натуральное число.
3) $4n - 3 = 13 \implies 4n = 16 \implies n = 4$. Это натуральное число.
4) $4n - 3 = -13 \implies 4n = -10 \implies n = -2.5$. Это не натуральное число.
Таким образом, подходят только значения $n=1$ и $n=4$.
Ответ: 1, 4.