Номер 21, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 21, страница 34.

Условие.

21. Упростите выражение:

1) $\frac{a-2}{a-1} - \frac{a}{1-a}$;

2) $\frac{3y+7}{4-y} + \frac{y+15}{y-4}$;

3) $\frac{(2a-3)^2}{9a-27} + \frac{(a-6)^2}{27-9a}$;

4) $\frac{25-3x}{(x-5)^2} - \frac{7x-x^2}{(5-x)^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) Исходное выражение: $ \frac{a-2}{a-1} - \frac{a}{1-a} $.
Для приведения дробей к общему знаменателю заметим, что $ 1-a = -(a-1) $. Используя это свойство, преобразуем вторую дробь, вынеся минус из знаменателя в знак перед дробью:
$ \frac{a-2}{a-1} - \frac{a}{-(a-1)} = \frac{a-2}{a-1} + \frac{a}{a-1} $.
Теперь, когда знаменатели одинаковы, мы можем сложить числители:
$ \frac{a-2+a}{a-1} = \frac{2a-2}{a-1} $.
В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:
$ \frac{2(a-1)}{a-1} $.
Сократим дробь на общий множитель $ (a-1) $, при условии, что $ a \neq 1 $:
$ 2 $.
Ответ: $2$.

2) Исходное выражение: $ \frac{3y+7}{4-y} + \frac{y+15}{y-4} $.
Знаменатели дробей $ 4-y $ и $ y-4 $ являются противоположными выражениями: $ 4-y = -(y-4) $. Приведем дроби к общему знаменателю $ y-4 $. Для этого преобразуем первую дробь:
$ \frac{3y+7}{4-y} = \frac{3y+7}{-(y-4)} = -\frac{3y+7}{y-4} $.
Подставим преобразованную дробь в исходное выражение:
$ -\frac{3y+7}{y-4} + \frac{y+15}{y-4} $.
Теперь сложим дроби с одинаковым знаменателем:
$ \frac{-(3y+7) + (y+15)}{y-4} = \frac{-3y-7+y+15}{y-4} $.
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{-2y+8}{y-4} $.
В числителе вынесем за скобки общий множитель -2:
$ \frac{-2(y-4)}{y-4} $.
Сократим дробь на $ (y-4) $, при условии, что $ y \neq 4 $:
$ -2 $.
Ответ: $-2$.

3) Исходное выражение: $ \frac{(2a-3)^2}{9a-27} + \frac{(a-6)^2}{27-9a} $.
Сначала разложим знаменатели на множители, чтобы найти общий знаменатель:
$ 9a-27 = 9(a-3) $
$ 27-9a = 9(3-a) = -9(a-3) $
Общий знаменатель равен $ 9(a-3) $. Преобразуем вторую дробь:
$ \frac{(2a-3)^2}{9(a-3)} + \frac{(a-6)^2}{-9(a-3)} = \frac{(2a-3)^2}{9(a-3)} - \frac{(a-6)^2}{9(a-3)} $.
Теперь выполним вычитание дробей:
$ \frac{(2a-3)^2 - (a-6)^2}{9(a-3)} $.
Числитель представляет собой разность квадратов. Применим формулу $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $:
$ (2a-3)^2 - (a-6)^2 = ((2a-3) - (a-6))((2a-3) + (a-6)) = (2a-3-a+6)(2a-3+a-6) = (a+3)(3a-9) $.
Разложим множитель $ (3a-9) $ как $ 3(a-3) $:
$ (a+3) \cdot 3(a-3) = 3(a+3)(a-3) $.
Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:
$ \frac{3(a+3)(a-3)}{9(a-3)} $.
Сократим общие множители $ 3 $ и $ (a-3) $, при условии, что $ a \neq 3 $:
$ \frac{a+3}{3} $.
Ответ: $\frac{a+3}{3}$.

4) Исходное выражение: $ \frac{25-3x}{(x-5)^2} - \frac{7x-x^2}{(5-x)^2} $.
Рассмотрим знаменатели. Так как квадрат числа и противоположного ему числа равны, то $ (5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2 $.
Следовательно, знаменатели дробей одинаковы. Можем сразу выполнить вычитание:
$ \frac{(25-3x) - (7x-x^2)}{(x-5)^2} $.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{25-3x-7x+x^2}{(x-5)^2} = \frac{x^2 - 10x + 25}{(x-5)^2} $.
Числитель $ x^2 - 10x + 25 $ является полным квадратом разности: $ (x-5)^2 $.
Подставим это в наше выражение:
$ \frac{(x-5)^2}{(x-5)^2} $.
Сократив дробь, получаем 1, при условии, что $ x \neq 5 $.
Ответ: $1$.