Номер 51, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Вариант 2. Упражнения - номер 51, страница 40.

Условие.

51. Представьте выражение в виде степени с основанием x или произведения степеней с разными основаниями:

1) $x^{-10} \cdot x^7;$

2) $x^8 \cdot x^{-6};$

3) $x^{-10} \cdot x^{15} \cdot x^{-8};$

4) $x^{-2} : x^7;$

5) $x^{-5} : x^{-12};$

6) $x^{16} \cdot x^{-25} : x^{12};$

7) $(x^5)^{-7};$

8) $(x^2)^{-8} \cdot (x^{-7})^{-4} : (x^{-3})^9;$

9) $(x^4 y^6 z^{-5})^{-9};$

10) $(x^3 y^{-6})^{-5} \cdot (x^{-6} y^{-8})^2;$

11) $\left(\frac{x^{13} y^{-5}}{c^6 m^{-12}}\right)^{-4};$

12) $\left(\frac{x^8}{y^{-5}}\right)^{-4} \cdot \left(\frac{x^{-4}}{y^8}\right)^{-10}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

1) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$x^{-10} \cdot x^7 = x^{-10+7} = x^{-3}$.
Ответ: $x^{-3}$

2) Используем то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$x^8 \cdot x^{-6} = x^{8+(-6)} = x^{8-6} = x^2$.
Ответ: $x^2$

3) Последовательно применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$x^{-10} \cdot x^{15} \cdot x^{-8} = x^{-10+15-8} = x^{5-8} = x^{-3}$.
Ответ: $x^{-3}$

4) При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$x^{-2} : x^7 = x^{-2-7} = x^{-9}$.
Ответ: $x^{-9}$

5) Используем то же свойство деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$x^{-5} : x^{-12} = x^{-5-(-12)} = x^{-5+12} = x^7$.
Ответ: $x^7$

6) Выполняем действия по порядку: сначала умножение, затем деление.
$x^{16} \cdot x^{-25} : x^{12} = x^{16+(-25)} : x^{12} = x^{-9} : x^{12} = x^{-9-12} = x^{-21}$.
Ответ: $x^{-21}$

7) При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(x^5)^{-7} = x^{5 \cdot (-7)} = x^{-35}$.
Ответ: $x^{-35}$

8) Сначала возводим каждую степень в степень, затем выполняем умножение и деление.
$(x^2)^{-8} \cdot (x^{-7})^{-4} : (x^{-3})^9 = x^{2 \cdot (-8)} \cdot x^{-7 \cdot (-4)} : x^{-3 \cdot 9} = x^{-16} \cdot x^{28} : x^{-27}$.
$x^{-16} \cdot x^{28} = x^{-16+28} = x^{12}$.
$x^{12} : x^{-27} = x^{12-(-27)} = x^{12+27} = x^{39}$.
Ответ: $x^{39}$

9) При возведении произведения в степень в эту степень возводится каждый множитель: $(abc)^n = a^n b^n c^n$.
$(x^4 y^6 z^{-5})^{-9} = (x^4)^{-9} \cdot (y^6)^{-9} \cdot (z^{-5})^{-9} = x^{4 \cdot (-9)} y^{6 \cdot (-9)} z^{-5 \cdot (-9)} = x^{-36} y^{-54} z^{45}$.
Ответ: $x^{-36} y^{-54} z^{45}$

10) Сначала раскрываем скобки в каждом множителе, а затем перемножаем степени с одинаковыми основаниями.
$(x^3 y^{-6})^{-5} \cdot (x^{-6} y^{-8})^2 = (x^{3 \cdot (-5)} y^{-6 \cdot (-5)}) \cdot (x^{-6 \cdot 2} y^{-8 \cdot 2}) = (x^{-15} y^{30}) \cdot (x^{-12} y^{-16})$.
$(x^{-15} \cdot x^{-12}) \cdot (y^{30} \cdot y^{-16}) = x^{-15-12} y^{30-16} = x^{-27} y^{14}$.
Ответ: $x^{-27} y^{14}$

11) Используем свойство возведения дроби в степень $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ и свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$\displaystyle \left( \frac{x^{13}y^{-5}}{c^6 m^{-12}} \right)^{-4} = \frac{(x^{13}y^{-5})^{-4}}{(c^6 m^{-12})^{-4}} = \frac{x^{13 \cdot (-4)} y^{-5 \cdot (-4)}}{c^{6 \cdot (-4)} m^{-12 \cdot (-4)}} = \frac{x^{-52}y^{20}}{c^{-24}m^{48}}$.
Представим результат в виде произведения, переместив множители из знаменателя в числитель, изменив знаки их показателей: $x^{-52} y^{20} c^{24} m^{-48}$.
Ответ: $c^{24} m^{-48} x^{-52} y^{20}$

12) Раскроем скобки в каждом множителе, используя свойства степеней, а затем перемножим результаты.
Первый множитель: $\displaystyle \left( \frac{x^8}{y^{-5}} \right)^{-4} = \frac{(x^8)^{-4}}{(y^{-5})^{-4}} = \frac{x^{-32}}{y^{20}}$.
Второй множитель: $\displaystyle \left( \frac{x^{-4}}{y^8} \right)^{-10} = \frac{(x^{-4})^{-10}}{(y^8)^{-10}} = \frac{x^{40}}{y^{-80}}$.
Перемножаем полученные выражения: $\displaystyle \frac{x^{-32}}{y^{20}} \cdot \frac{x^{40}}{y^{-80}} = \frac{x^{-32} \cdot x^{40}}{y^{20} \cdot y^{-80}} = \frac{x^{-32+40}}{y^{20-80}} = \frac{x^8}{y^{-60}}$.
Представим в виде произведения: $x^8 y^{60}$.
Ответ: $x^8 y^{60}$